Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;1;2 \right)$, $B\left( -1;0;4 \right)$, $C\left( 0;-1;3 \right)$ và điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$. Biểu thức $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b+c$ bằng:
A. $2$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $6$.
D. $\sqrt{6}$.
A. $2$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $6$.
D. $\sqrt{6}$.
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ có tâm $I\left( 0;0;1 \right)$, bán kính $R=1$ và $G\left( 0;0;3 \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}=3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}$
Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và ${{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}$ không đổi nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ đạt giá trị nhỏ nhất hay $M$ là giao điểm của $GI$ và mặt cầu $\left( S \right)$ và nằm giữa $I,G$.
Ta có $IG:\left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
y=0 \\
z=t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 0;0;t \right)\in \left( S \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
t=2 & \left( n \right) \\
t=0 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 0;0;2 \right)$.
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}=3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}$
Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và ${{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}$ không đổi nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ đạt giá trị nhỏ nhất hay $M$ là giao điểm của $GI$ và mặt cầu $\left( S \right)$ và nằm giữa $I,G$.
Ta có $IG:\left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
y=0 \\
z=t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 0;0;t \right)\in \left( S \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
t=2 & \left( n \right) \\
t=0 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 0;0;2 \right)$.
Đáp án A.