Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 1;1;2 \right),B\left( -1;0;4 \right),C\left( 0;-1;3 \right)$ và điểm M thuộc mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$. Khi biểu thức $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AM bằng
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{6}$
C. 6
D. 2
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{6}$
C. 6
D. 2
Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC$
Ta có $G\left( 0;0;3 \right)$ và $G\notin \left( S \right)$
Khi đó: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$
$=3M{{G}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+6$
Do đó ${{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow MG$ ngắn nhất.
Ta lại có, mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=1$ tâm $I\left( 0;0;1 \right)\in Oz$, và $\left( S \right)$ qua O.
Mà $G\in Oz$ nên MG ngắn nhất khi $M=Oz\cap \left( S \right)$
Do đó $M\left( 0;0;2 \right)$. Vậy $MA=\sqrt{2}$
Ta có $G\left( 0;0;3 \right)$ và $G\notin \left( S \right)$
Khi đó: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$
$=3M{{G}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+6$
Do đó ${{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow MG$ ngắn nhất.
Ta lại có, mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=1$ tâm $I\left( 0;0;1 \right)\in Oz$, và $\left( S \right)$ qua O.
Mà $G\in Oz$ nên MG ngắn nhất khi $M=Oz\cap \left( S \right)$
Do đó $M\left( 0;0;2 \right)$. Vậy $MA=\sqrt{2}$
Đáp án A.