Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 1;1;2...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A (1; 1; 2), B (- 1; 0; 4), C (0; - 1; 3)

và điểm M thuộc mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

. Khi biểu thức

M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}

đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AM bằng
A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{6}

C. 6
D. 2

Gọi G là trọng tâm

Δ A B C

Ta có

G (0; 0; 3)

và

G \notin (S)

Khi đó:

M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}

= 3 M G^{2} + 2 \vec{M G} (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = 3 M G^{2} + 6

Do đó

{(M A^{2} + M B^{2} + M C^{2})}_{min} \Leftrightarrow M G

ngắn nhất.
Ta lại có, mặt cầu

(S)

có bán kính

R = 1

tâm

I (0; 0; 1) \in O z

, và

(S)

qua O.
Mà

G \in O z

nên MG ngắn nhất khi

M = O z \cap (S)

Do đó

M (0; 0; 2)

. Vậy

M A = \sqrt{2}

Đáp án A.