Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 1;1;-1 \right),B\left( -1;2;0 \right),C\left( 3;-1;-2 \right).$ Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=861$ sao cho biểu thức $P=2M{{A}^{2}}-7M{{B}^{2}}+4M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $T=\left| a+b-c \right|?$
A. $T=47.$
B. $T=5.$
C. $T=9.$
D. $T=19.$
A. $T=47.$
B. $T=5.$
C. $T=9.$
D. $T=19.$
Mặt cầu (S) có tâm $K\left( 1;0;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{861}.$
Ta tìm điểm I thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-7\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ Suy ra $I\left( -21;16;10 \right).$
Ta có: $P=2M{{A}^{2}}-7M{{B}^{2}}+4M{{C}^{2}}=2{{\overrightarrow{MA}}^{2}}-7{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+4{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-7{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=-{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IA}}^{2}}-7{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+4{{\overrightarrow{IC}}^{2}}=-M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}-7I{{B}^{2}}+4I{{C}^{2}}$
Vì $2I{{A}^{2}}-7I{{B}^{2}}+4I{{C}^{2}}$ là hằng số không đổi nên
Suy ra $M\left( 23;-16;-12 \right).$ Vậy $T=\left| 23-16+12 \right|=19.$
Ta tìm điểm I thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-7\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ Suy ra $I\left( -21;16;10 \right).$
Ta có: $P=2M{{A}^{2}}-7M{{B}^{2}}+4M{{C}^{2}}=2{{\overrightarrow{MA}}^{2}}-7{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+4{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-7{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=-{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IA}}^{2}}-7{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+4{{\overrightarrow{IC}}^{2}}=-M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}-7I{{B}^{2}}+4I{{C}^{2}}$
Vì $2I{{A}^{2}}-7I{{B}^{2}}+4I{{C}^{2}}$ là hằng số không đổi nên
${{P}_{\min }}\Leftrightarrow -MI_{\min }^{2}\Leftrightarrow MI_{\text{max}}^{2}\Leftrightarrow M{{I}_{\text{max}}}.$
Nhận thấy $I\in (S)$ nên $M{{I}_{\text{max}}}\Leftrightarrow MI$ là đường kính của mặt cầu (S) hay K là trung điểm của MI.Suy ra $M\left( 23;-16;-12 \right).$ Vậy $T=\left| 23-16+12 \right|=19.$
Đáp án D.