Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;0)...

Gọi $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ (điều kiện a2​ + b2​ + c2​ > 0 ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;1;0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ là
$a(x+1)+b(y-1)+cz=0\iff ax+by+cz+a-b=0$ (1).
Điểm B(0;0;-2) thuộc mặt phẳng (P) nên -2c + a-b = 0 $\iff$ b = a - 2c (2).
Khoảng cách từ điểm C(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng $\sqrt{3}$ nên
${\displaystyle \frac{|a+b+c+a-b|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}=\sqrt{3}\iff |2a+c|=\sqrt{3}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (3).
Thế (2) vào (3) và bình phương hai vế ta được
${(2a+c)}^2=3[a^2+{(a-2c)}^2+c^2]\iff 2a^2-16ac+14c^2=0\iff [\begin{array}{rl}& a=c\\ & a=7c\end{array}$
+) a = c, chọn $\{\begin{array}{rl}& a=1\\ & c=1\end{array}$ thế vào (2) ta được b = -1.
Phương trình mặt phẳng (P1​) là x - y + z + 2 = 0.
+) a = 7c , chọn $\{\begin{array}{rl}& a=7\\ & c=1\end{array}$thế vào (2) ta được b = 5.
Phương trình mặt phẳng (P2​) là 7x + 5y + z + 2 = 0.
Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là ( P1​): x - y + z + 2 = 0 và (P2​): 7x + 5y+ z + 2 = 0.