Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;0)...

Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ (điều kiện a2​ + b2​ + c2​ > 0 ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;1;0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là
$a\left( x+1 \right)+b\left( y-1 \right)+cz=0\Leftrightarrow ax+by+cz+a-b=0$ (1).
Điểm B(0;0;-2) thuộc mặt phẳng (P) nên -2c + a-b = 0 $\Leftrightarrow $ b = a - 2c (2).
Khoảng cách từ điểm C(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng $\sqrt{3}$ nên
$\dfrac{\left| a+b+c+a-b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| 2a+c \right|=\sqrt{3}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ (3).
Thế (2) vào (3) và bình phương hai vế ta được
${{\left( 2a+c \right)}^{2}}=3\left[ {{a}^{2}}+{{\left( a-2c \right)}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-16ac+14{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=c \\
& a=7c \\
\end{aligned} \right.$
+) a = c, chọn $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$ thế vào (2) ta được b = -1.
Phương trình mặt phẳng (P1​) là x - y + z + 2 = 0.
+) a = 7c , chọn $\left\{ \begin{aligned}
& a=7 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$thế vào (2) ta được b = 5.
Phương trình mặt phẳng (P2​) là 7x + 5y + z + 2 = 0.
Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là ( P1​): x - y + z + 2 = 0 và (P2​): 7x + 5y+ z + 2 = 0.