Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho $A\left( -3;1;1 \right)$, $B\left( 1;-1;5 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ : $2x-y+2z+11=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại điểm C. Biết C luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định. Tính bán kính r của đường tròn $\left( T \right)$.
A. $r=4$
B. $r=2$.
C. $r=\sqrt{3}$.
D. $r=\sqrt{2}$.
A. $r=4$
B. $r=2$.
C. $r=\sqrt{3}$.
D. $r=\sqrt{2}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)$ và m $\left( P \right)$ có vec tơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( 2;-1;2 \right)$. Do đó AB vuông góc với $\left( P \right)$.
Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm A, B nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 9+1+1+6a-2b-2c+d=0 \\
& 1+1+25-2a+2b-10c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6a-2b-2c+d=-11 \\
& 2a-2b+10c-d=27 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $8a-4b+8c=16\Leftrightarrow 2a-b+2c=4$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a-b+2c+11 \right|}{3}=5$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{16+4+16}=6$.
Gọi M là trung điểm AB ta có $d\left( C,AB \right)=IM=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$.
Vậy C luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định có bán kính $r=4$.
Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm A, B nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 9+1+1+6a-2b-2c+d=0 \\
& 1+1+25-2a+2b-10c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6a-2b-2c+d=-11 \\
& 2a-2b+10c-d=27 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $8a-4b+8c=16\Leftrightarrow 2a-b+2c=4$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a-b+2c+11 \right|}{3}=5$
Gọi M là trung điểm AB ta có $d\left( C,AB \right)=IM=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$.
Vậy C luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định có bán kính $r=4$.
Đáp án A.