Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left( -3;0;0...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)

và mặt phẳng

(P) : x + y + z - 3 = 0.

Tìm trên (P) điểm M sao cho

| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |

nhỏ nhất
A.

M (3; 3; - 3) .

B.

M (3; - 3; 3) .

C.

M (- 3; 3; 3) .

D.

M (- 3; - 3; 3) .

Gọi điểm

I (a, b, c)

thỏa mãn

\vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}

Ta có:

{\begin{aligned} \vec{I A} = (- 3 - a; - b; - c) \\ \vec{I B} = (- a; - b; 3 - c) \\ \vec{I C} = (- a; - 3 - b; - c) \end{aligned} \Rightarrow \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = (- 3 - a; 3 - b; 3 - c) = \vec{0}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - 3 - a = 0 \\ 3 - b = 0 \\ 3 - c = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = - 3 \\ b = 3 \\ c = 3 \end{aligned} \Leftrightarrow I (- 3; 3; 3)

Ta có

| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} | = | \vec{M I} + \vec{I A} + \vec{M I} + \vec{I B} - \vec{M I} - \vec{I C} | = | \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) | = | \vec{M I} | = M I

Do đó

| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |

nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất

\Rightarrow M

là hình chiếu của I trên (P)
Ta thấy

- 3 + 3 + 3 - 3 = 0 \Rightarrow I \in (P)

Nên hình chiếu của I trên (P) là chính nó
Do đó

M \equiv I \Rightarrow M (- 3; 3; 3)

Đáp án C.