Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left( 2;3;-1 \right),B\left( 2;3;2 \right),C\left( -1;0;2 \right)$ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) để $S=\left| \overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC} \right|+\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất.
A. $M\left( -1;0;\dfrac{7}{3} \right).$
B. $M\left( 0;3;0 \right).$
C. $M\left( 1;0;\dfrac{7}{3} \right).$
D. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;2 \right).$
A. $M\left( -1;0;\dfrac{7}{3} \right).$
B. $M\left( 0;3;0 \right).$
C. $M\left( 1;0;\dfrac{7}{3} \right).$
D. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;2 \right).$
HD: Giả sử G là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow G\left( 1;2;1 \right)$
Lấy D sao cho $\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=4\overrightarrow{DC}$ suy ra $D\left( -2;-1;3 \right)$
Khi đó ta có: $S=\left| \overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC} \right|+\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MD}-\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{MD}+4\overrightarrow{DC} \right|+\left| 3\overrightarrow{MG} \right|$
$=\left| 3\overrightarrow{MD} \right|+\left| 3\overrightarrow{MG} \right|=3\left( MD+MG \right)$
Do D và G nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxz) nên ta có: $MD+MG\ge DG$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow M,D,G$ thẳng hàng.
Phường trình đường thẳng $DG:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+3t \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M=DG\cap \left( Oxz \right)=\left( -1;0;\dfrac{7}{3} \right).$
Lấy D sao cho $\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=4\overrightarrow{DC}$ suy ra $D\left( -2;-1;3 \right)$
Khi đó ta có: $S=\left| \overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC} \right|+\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MD}-\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{MD}+4\overrightarrow{DC} \right|+\left| 3\overrightarrow{MG} \right|$
$=\left| 3\overrightarrow{MD} \right|+\left| 3\overrightarrow{MG} \right|=3\left( MD+MG \right)$
Do D và G nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxz) nên ta có: $MD+MG\ge DG$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow M,D,G$ thẳng hàng.
Phường trình đường thẳng $DG:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+3t \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M=DG\cap \left( Oxz \right)=\left( -1;0;\dfrac{7}{3} \right).$
Đáp án A.