Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $A\left( 1; -1; 3 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{-2},$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Phương trình đường thẳng qua $A$, vuông góc với ${{d}_{1}}$ và cắt ${{d}_{2}}$ là
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}$.
B. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{4}$.
C. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}$.
B. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{4}$.
C. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và $d$ cắt ${{d}_{2}}$ tại $K$. Khi đó $K\left( 2+t; -1-t; 1+t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AK}=\left( 1+t; -t; t-2 \right)$.
Đường $AK\bot {{d}_{1}}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0$, với ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1; 4; -2 \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}}$.
Do đó $1+t-4t-2t+4=0\Leftrightarrow t=1$, suy ra $\overrightarrow{AK}=\left( 2; -1; -1 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Ta có $\overrightarrow{AK}=\left( 1+t; -t; t-2 \right)$.
Đường $AK\bot {{d}_{1}}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0$, với ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1; 4; -2 \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}}$.
Do đó $1+t-4t-2t+4=0\Leftrightarrow t=1$, suy ra $\overrightarrow{AK}=\left( 2; -1; -1 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Đáp án D.