Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( -1 ; 0 ; 0 \right)$, $B\left( 0 ; 0 ; 2 \right)$, $C\left( 0 ;-3 ; 0 \right)$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
D. $\sqrt{14}$.
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
D. $\sqrt{14}$.
Cách 1: Tìm tọa độ tâm mặt cầu suy ra bán kính.
Gọi $I(x;y;z)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.
Ta có: $IO=IA=IB=IC=R$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& I{{O}^{2}}=I{{A}^{2}} \\
& I{{O}^{2}}=I{{B}^{2}} \\
& I{{O}^{2}}=I{{C}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2} \\
& y=-\dfrac{3}{2} \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$I\left( -\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};1 \right)$ $ \Rightarrow R=IO=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Cách 2: Tìm phương trình mặt cầu suy ra bán kính.
Gọi phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$.
Do $\left( S \right)$ đi qua bốn điểm $A, B, C, O$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2a+d=0 \\
& 4-4c+d=0 \\
& 9+6b+d=0 \\
& d=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=-\dfrac{3}{2} \\
& c=1 \\
& d=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow $ bán kính của $\left( S \right)$ là: $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Cách 3: Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện vuông.
Do tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $R=\dfrac{1}{2}\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4+9}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Gọi $I(x;y;z)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.
Ta có: $IO=IA=IB=IC=R$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& I{{O}^{2}}=I{{A}^{2}} \\
& I{{O}^{2}}=I{{B}^{2}} \\
& I{{O}^{2}}=I{{C}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2} \\
& y=-\dfrac{3}{2} \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$I\left( -\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};1 \right)$ $ \Rightarrow R=IO=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Cách 2: Tìm phương trình mặt cầu suy ra bán kính.
Gọi phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$.
Do $\left( S \right)$ đi qua bốn điểm $A, B, C, O$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 1+2a+d=0 \\
& 4-4c+d=0 \\
& 9+6b+d=0 \\
& d=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=-\dfrac{3}{2} \\
& c=1 \\
& d=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow $ bán kính của $\left( S \right)$ là: $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Cách 3: Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện vuông.
Do tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là $R=\dfrac{1}{2}\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4+9}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Đáp án C.