Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left( -1;0;0 \right),B\left( 0;0;2 \right),C\left( 0;-3;0 \right)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{4}.$
B. $\sqrt{14}.$
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{4}}{2}.$
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot OA \\
& OC\bot OB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left( OAB \right)$.
Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
$\Delta OAB$ vuông tại $O\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$
$I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.
Ta có: $OA=1,\ OB=2,\ OC=3\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
$R=OI=\sqrt{I{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{4}.$
B. $\sqrt{14}.$
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{4}}{2}.$
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot OA \\
& OC\bot OB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left( OAB \right)$.
Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
$\Delta OAB$ vuông tại $O\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$
$I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.
Ta có: $OA=1,\ OB=2,\ OC=3\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
$R=OI=\sqrt{I{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Đáp án D.