Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A\left( 2;3;-1 \right), B\left( 0;4;2 \right)$ $C\left( 1;2;-1 \right), D\left( 7,2,1 \right)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=4\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+6\left| \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$ ?
A. ${{P}_{\min }}=48$.
B. ${{P}_{\min }}=9\sqrt{34}$.
C. ${{P}_{\min }}=36$.
D. ${{P}_{\min }}=12\sqrt{34}$.
A. ${{P}_{\min }}=48$.
B. ${{P}_{\min }}=9\sqrt{34}$.
C. ${{P}_{\min }}=36$.
D. ${{P}_{\min }}=12\sqrt{34}$.
Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow G\left( 1; 3 ;0 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow I\left( 4; 2; 0 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3.\overrightarrow{MG}$, $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2.\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow $ $P=12\left( MG+MI \right)$.
Nhận xét hai điểm $G, I$ đều thuộc mặt phẳng $Oxy$ và nằm về cùng một phía đối với trục $Ox$,
nên ta có thể làm như sau:
Gọi ${G}'$ là điểm đối xứng với $G$ qua trục $Ox$ $\Rightarrow {G}'\left( 1; -3; 0 \right)$
Ta có: $MG+MI={G}'M+MI\ge {G}'I$ đẳng thức xảy ra khi $M={G}'I\cap Ox$.
Suy ra: $P\ge 12.{G}'I$ hay $P\ge 12\sqrt{34}$. Vậy ${{P}_{\min }}=12\sqrt{34}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow I\left( 4; 2; 0 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3.\overrightarrow{MG}$, $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2.\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow $ $P=12\left( MG+MI \right)$.
Nhận xét hai điểm $G, I$ đều thuộc mặt phẳng $Oxy$ và nằm về cùng một phía đối với trục $Ox$,
nên ta có thể làm như sau:
Gọi ${G}'$ là điểm đối xứng với $G$ qua trục $Ox$ $\Rightarrow {G}'\left( 1; -3; 0 \right)$
Ta có: $MG+MI={G}'M+MI\ge {G}'I$ đẳng thức xảy ra khi $M={G}'I\cap Ox$.
Suy ra: $P\ge 12.{G}'I$ hay $P\ge 12\sqrt{34}$. Vậy ${{P}_{\min }}=12\sqrt{34}$.
Đáp án D.