Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho $3$ điểm $A\left(...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z,

cho

3

điểm

A (1; 2; - 1), B (2; 1; 1); C (0; 1; 2)

và đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{2} .

Lập phương trình đường thẳng

Δ

đi qua trực tâm của tam giác

A B C,

nằm trong mặt phẳng

(A B C)

và vuông góc với đường thẳng

D .

A.

Δ : \frac{x - 1}{12} = \frac{y + 1}{2} = \frac{x - 1}{- 11}

.
B.

Δ : \frac{x - 2}{12} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 11}

.
C.

Δ : \frac{x - 2}{12} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 11}

.
D.

Δ : \frac{x - 2}{12} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 11}

.

Ta có

\vec{A B} = (1; - 1; 2); \vec{A C} = (- 1; - 1; 3) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 1; - 5; - 2)

.
Vậy phương trình mặt phẳng

(A B C) : x + 5 y + 2 z - 9 = 0

.
Gọi trực tâm của tam giác

A B C

là

H (a; b; c)

khi đó ta có hệ

{\begin{matrix} \begin{matrix} \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \\ \vec{C H} . \vec{A B} = 0 \end{matrix} \\ H \in (A B C) \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} a - b + 2 c = 3 \\ a + b - 3 c = 0 \end{matrix} \\ a + 5 b + 2 c = 9 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \\ c = 1 \end{matrix} \Rightarrow H (2; 1; 1) .

Do đường thẳng

Δ

nằm trong

(A B C)

và vuông góc với

(d)

nên:

{\begin{matrix} {\vec{u}}_{Δ} ⊥ {\vec{n}}_{A B C} \\ {\vec{u}}_{Δ} ⊥ {\vec{u}}_{d} \end{matrix} \Rightarrow {\vec{u}}_{Δ} = [{\vec{n}}_{A B C}, {\vec{u}}_{d}] = (12; 2; - 11) .

Vậy phương trình đường thẳng

Δ : \frac{x - 2}{12} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 11}

.

Đáp án C.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left(...