Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho $3$ điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;1;1 \right);C\left( 0;1;2 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}.$ Lập phương trình đường thẳng $\!\!\Delta\!\!$ đi qua trực tâm của tam giác $ABC,$ nằm trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và vuông góc với đường thẳng $D.$
A. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-1}{12}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{x-1}{-11}$.
B. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-11}$.
C. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-11}$.
D. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-11}$.
A. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-1}{12}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{x-1}{-11}$.
B. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-11}$.
C. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-11}$.
D. $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-11}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;-1;3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -1;-5;-2 \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):x+5y+2z-9=0$.
Gọi trực tâm của tam giác $ABC$ là $H\left( a;b;c \right)$ khi đó ta có hệ
$\left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0 \\
\end{matrix} \\
H\in \left( ABC \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
a-b+2c=3 \\
a+b-3c=0 \\
\end{matrix} \\
a+5b+2c=9 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
a=2 \\
b=1 \\
\end{matrix} \\
c=1 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H\left( 2;1;1 \right).$
Do đường thẳng $\!\!\Delta\!\!$ nằm trong $\left( ABC \right)$ và vuông góc với $\left( d \right)$ nên: $\left\{ \begin{matrix}
{{{\vec{u}}}_{\!\!\Delta\!\!}}\bot {{{\vec{n}}}_{ABC}} \\
{{{\vec{u}}}_{\!\!\Delta\!\!}}\bot {{{\vec{u}}}_{d}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {{\vec{u}}_{\!\!\Delta\!\!}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{ABC}},{{{\vec{u}}}_{d}} \right]=\left( 12;2;-11 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-11}$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):x+5y+2z-9=0$.
Gọi trực tâm của tam giác $ABC$ là $H\left( a;b;c \right)$ khi đó ta có hệ
$\left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0 \\
\end{matrix} \\
H\in \left( ABC \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
a-b+2c=3 \\
a+b-3c=0 \\
\end{matrix} \\
a+5b+2c=9 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
a=2 \\
b=1 \\
\end{matrix} \\
c=1 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H\left( 2;1;1 \right).$
Do đường thẳng $\!\!\Delta\!\!$ nằm trong $\left( ABC \right)$ và vuông góc với $\left( d \right)$ nên: $\left\{ \begin{matrix}
{{{\vec{u}}}_{\!\!\Delta\!\!}}\bot {{{\vec{n}}}_{ABC}} \\
{{{\vec{u}}}_{\!\!\Delta\!\!}}\bot {{{\vec{u}}}_{d}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {{\vec{u}}_{\!\!\Delta\!\!}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{ABC}},{{{\vec{u}}}_{d}} \right]=\left( 12;2;-11 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng $\!\!\Delta\!\!:\dfrac{x-2}{12}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-11}$.
Đáp án C.