Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho $2$ đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{2}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1}.$ Mặt phẳng $\left( P \right):x+ay+bz+c=0 \left( c>0 \right)$ song song với ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ và khoảng cách từ ${{d}_{1}}$ đến $\left( P \right)$ bằng $2$ lần khoảng cách từ ${{d}_{2}}$ đến $\left( P \right).$ Giá trị của $3a+5b-c$ bằng
A. $-3$.
B. $-20$.
C. $-11$.
D. $12$.
A. $-3$.
B. $-20$.
C. $-11$.
D. $12$.
Gọi ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1 ; 1 ; 2 \right)$, ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 2 ; 1 ; 1 \right)$ lần lượt là một vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$.
Gọi ${{\vec{n}}_{1}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right]=\left( -1 ; 3 ; -1 \right)$, có ${{\vec{n}}_{1}}$ cùng phương ${{\vec{n}}_{2}}=\left( 1 ; -3 ; 1 \right)$.
$\vec{n}=\left( 1 ; a ; b \right)$ là một vec-tơ chỉ phương của $\left( P \right)$.
Do $\left( P \right)$ song song với ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ nên chọn $\vec{n}=\left( 1 ; -3 ; 1 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x-3y+z+c=0$.
Lấy ${{M}_{1}}\left( 1; -2; 1 \right)\in {{d}_{1}}$, ${{M}_{2}}\left( 1; 1; -2 \right)\in {{d}_{2}}$
Có $d\left( {{d}_{1}};\left( P \right) \right)=2d\left( {{d}_{2}};\left( P \right) \right)$ $\Leftrightarrow d\left( {{M}_{1}};\left( P \right) \right)=2d\left( {{M}_{2}};\left( P \right) \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1-3\left( -2 \right)+1+c \right|}{\sqrt{11}}=2\dfrac{\left| 1-3-2+c \right|}{\sqrt{11}}$ $\Leftrightarrow \left| 8+c \right|=2\left| -4+c \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 8+c=2\left( -4+c \right) \\
& 8+c=2\left( 4-c \right) \\
\end{aligned} \right.$
.$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=16 \left( \text{nhận } \right) \\
& c=0 \left( \text{loaị}\right) \\
\end{aligned} \right.$.
Nên $\left( P \right): x-3y+z+16=0$, suy ra $a=-3$, $b=1$, $c=16$.
Vậy $3a+5b-c=-20$.
Gọi ${{\vec{n}}_{1}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right]=\left( -1 ; 3 ; -1 \right)$, có ${{\vec{n}}_{1}}$ cùng phương ${{\vec{n}}_{2}}=\left( 1 ; -3 ; 1 \right)$.
$\vec{n}=\left( 1 ; a ; b \right)$ là một vec-tơ chỉ phương của $\left( P \right)$.
Do $\left( P \right)$ song song với ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ nên chọn $\vec{n}=\left( 1 ; -3 ; 1 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x-3y+z+c=0$.
Lấy ${{M}_{1}}\left( 1; -2; 1 \right)\in {{d}_{1}}$, ${{M}_{2}}\left( 1; 1; -2 \right)\in {{d}_{2}}$
Có $d\left( {{d}_{1}};\left( P \right) \right)=2d\left( {{d}_{2}};\left( P \right) \right)$ $\Leftrightarrow d\left( {{M}_{1}};\left( P \right) \right)=2d\left( {{M}_{2}};\left( P \right) \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1-3\left( -2 \right)+1+c \right|}{\sqrt{11}}=2\dfrac{\left| 1-3-2+c \right|}{\sqrt{11}}$ $\Leftrightarrow \left| 8+c \right|=2\left| -4+c \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 8+c=2\left( -4+c \right) \\
& 8+c=2\left( 4-c \right) \\
\end{aligned} \right.$
.$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=16 \left( \text{nhận } \right) \\
& c=0 \left( \text{loaị}\right) \\
\end{aligned} \right.$.
Nên $\left( P \right): x-3y+z+16=0$, suy ra $a=-3$, $b=1$, $c=16$.
Vậy $3a+5b-c=-20$.
Đáp án B.