Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho $2$ đường thẳng...

Gọi ${\overrightarrow{u}}_1=(1;1;2)$, ${\overrightarrow{u}}_2=(2;1;1)$ lần lượt là một vectơ chỉ phương của $d_1$, $d_2$.
Gọi ${\overrightarrow{n}}_1=[{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2]=(-1;3;-1)$, có ${\overrightarrow{n}}_1$ cùng phương ${\overrightarrow{n}}_2=(1;-3;1)$.
$\overrightarrow{n}=(1;a;b)$ là một vec-tơ chỉ phương của $\left(P\right)$.
Do $\left(P\right)$ song song với $d_1,d_2$ nên chọn $\overrightarrow{n}=(1;-3;1)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ có dạng: $x-3y+z+c=0$.
Lấy $M_1(1;-2;1)\in d_1$, $M_2(1;1;-2)\in d_2$
Có $d(d_1;\left(P\right))=2d(d_2;\left(P\right))$ $\iff d(M_1;\left(P\right))=2d(M_2;\left(P\right))$
$\iff {\displaystyle \frac{|1-3(-2)+1+c|}{\sqrt{11}}}=2{\displaystyle \frac{|1-3-2+c|}{\sqrt{11}}}$ $\iff |8+c|=2|-4+c|$ $\iff [\begin{array}{rl}& 8+c=2(-4+c)\\ & 8+c=2(4-c)\end{array}$
.$\iff [\begin{array}{rl}& c=16\left(\text{nhận }\right)\\ & c=0\left(\text{loaị}\right)\end{array}$.
Nên $\left(P\right):x-3y+z+16=0$, suy ra $a=-3$, $b=1$, $c=16$.
Vậy $3a+5b-c=-20$.