Trong không gian với hệ tọa độ $Oxy$, gọi $d$ đi qua $A\left(...

$\Delta $ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{\Delta }}}=\left( 1;2;2 \right)$
$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{d}}}=\left( a;b;c \right)$
$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-1;1 \right)$
$d\subset \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{a}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\Leftrightarrow b=a+c$ $\left( 1 \right)$
$\left( \Delta ,d \right)={{45}^{0}}\Leftrightarrow \cos \left( \Delta ,d \right)=\cos {{45}^{0}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| a+2b+2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 2{{\left( a+2b+2c \right)}^{2}}=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có: $14{{c}^{2}}+30ac=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 15a+7c=0 \\
\end{aligned} \right.$
Với $c=0$, chọn $a=b=1$, phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=-1-t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $. $ $
Với $15a+7c=0$, chọn $a=7\Rightarrow c=-15;b=-8$, phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+7t \\
& y=-1-8t \\
& z=1-15t \\
\end{aligned} \right.$