Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho tam giác $A B C$...

Trong mặt phẳng , ta có tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính , do đó (1) (cùng chắn cung) .
Ta cũng có tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính , do đó (2) (cùng chắn cung) .
Từ (1) và (2) suy ra , hay là phân giác trong của góc .
Tương tự, là phân giác trong của góc .
Như vậy, điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Ta có .
Vì là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên
.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương nên phương trình là .
Vì nên .
Mà nên .
Như vậy .
Vậy, phương trình mặt cầu tâm , đi qua điểm là
.