Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ ${O x y z}$, cho tam giác ${A B C}$ có ${A B=2 A C}$ và điểm $M(2 ; 0 ; 4)$. Biết điểm $B$ thuộc đường thẳng $d: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}$, điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(P): 2 x+y-z-2=0$ và ${A M}$ là phân giác trong của tam giác ${A B C}$ kẻ từ $A(M \in B C)$. Phương trình đường thẳng ${B C}$ là
A. $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=t \\ z=4+t\end{array}\right.$.
B. $\left\{\begin{array}{l}x=-2+2 t \\ y=-2+t \\ z=-2+3 t\end{array}\right.$.
C. $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2-t \\ z=2+t\end{array}\right.$.
D. $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=t \\ z=4-t\end{array}\right.$.
Ta có $B\left( t; t; t \right)\in d$ ; $C\left( a; b; c \right)\in \left( P \right)$.
Vì $AM$ là phân giác trong của tam giác ${A B C}$ kẻ từ $A(M \in B C)$ nên $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=2$.
Suy ra $\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{CM}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t-2=2\left( 2-a \right) \\
& t=2\left( 0-b \right) \\
& t-4=2\left( 4-c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3-\dfrac{t}{2} \\
& b=-\dfrac{t}{2} \\
& c=6-\dfrac{t}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $(P): 2 x+y-z-2=0$ nên $2\left( 3-\dfrac{t}{2} \right)+\left( -\dfrac{t}{2} \right)-\left( 6-\dfrac{t}{2} \right)-2=0\Leftrightarrow t=-2$
Khi đó $B\left( -2; -2; -2 \right); C\left( 4; 1; 7 \right)$ ; $\overrightarrow{BC}=\left( 6; 3; 9 \right)$
Đường thẳng $BC$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 2; 1; 3 \right)$ làm 1 VTCP nên có phương trình
$\left\{\begin{array}{l}x=-2+2 t \\ y=-2+t \\ z=-2+3 t\end{array}\right.$.
A. $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=t \\ z=4+t\end{array}\right.$.
B. $\left\{\begin{array}{l}x=-2+2 t \\ y=-2+t \\ z=-2+3 t\end{array}\right.$.
C. $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2-t \\ z=2+t\end{array}\right.$.
D. $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=t \\ z=4-t\end{array}\right.$.
Vì $AM$ là phân giác trong của tam giác ${A B C}$ kẻ từ $A(M \in B C)$ nên $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=2$.
Suy ra $\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{CM}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t-2=2\left( 2-a \right) \\
& t=2\left( 0-b \right) \\
& t-4=2\left( 4-c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3-\dfrac{t}{2} \\
& b=-\dfrac{t}{2} \\
& c=6-\dfrac{t}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $(P): 2 x+y-z-2=0$ nên $2\left( 3-\dfrac{t}{2} \right)+\left( -\dfrac{t}{2} \right)-\left( 6-\dfrac{t}{2} \right)-2=0\Leftrightarrow t=-2$
Khi đó $B\left( -2; -2; -2 \right); C\left( 4; 1; 7 \right)$ ; $\overrightarrow{BC}=\left( 6; 3; 9 \right)$
Đường thẳng $BC$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 2; 1; 3 \right)$ làm 1 VTCP nên có phương trình
$\left\{\begin{array}{l}x=-2+2 t \\ y=-2+t \\ z=-2+3 t\end{array}\right.$.
Đáp án B.