Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, biết $(P)$ là mặt phẳng cách đều hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x-2}{-1}=$ $\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}$ và $d_2: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P)$
A. $P\left(-\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$.
B. $Q\left(1 ; 0 ;-\dfrac{1}{2}\right)$.
C. $M\left(\dfrac{1}{2} ; 1 ; 0\right)$.
D. $N\left(1 ;-\dfrac{1}{2} ; 0\right)$.
A. $P\left(-\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$.
B. $Q\left(1 ; 0 ;-\dfrac{1}{2}\right)$.
C. $M\left(\dfrac{1}{2} ; 1 ; 0\right)$.
D. $N\left(1 ;-\dfrac{1}{2} ; 0\right)$.
$d_1$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(-1 ; 1 ; 1)$ và đi qua điểm $A(2 ; 0 ; 0)$.
$d_2$ có véc tơ chỉ phương $\vec{v}=(2 ;-1 ;-1)$ và đi qua điểm $B(0 ; 1 ; 2)$.
Ta có: $[\vec{u}, \vec{v}]=(0 ; 1 ;-1), \overrightarrow{A B}=(-2 ; 1 ; 2),[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \overrightarrow{A B}=-1 \neq 0 \Rightarrow d_1$ và $d_2$ chéo nhau $\Rightarrow$ có duy nhất một mặt phẳng $(P)$ song song và cách đều $d_1, d_2$.
$(P)$ đi qua trung điểm $I\left(1 ; \dfrac{1}{2} ; 1\right)$ của đoạn $\mathrm{AB}$ và nhận $[\vec{u}, \vec{v}]=(0 ; 1 ;-1)$ làm véc tơ pháp tuyến, vậy $(P): 2 y-2 z+1=0$, chỉ có điểm $N \in(P)$
Bài toán tổng quát: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ cách đều hai đường thẳng $d_1, d_2$.
Phương pháp giải
- Gọi $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt là các véc tơ chỉ phương của $d_1$ và $d_2$, lấy $A \in d_1, B \in d_2$.
- $(P)$ là mặt phẳng đi qua $I$ là trung điểm của $A B$ và có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=k[\vec{u} ; \vec{v}]$ với $k \neq 0$.
$d_2$ có véc tơ chỉ phương $\vec{v}=(2 ;-1 ;-1)$ và đi qua điểm $B(0 ; 1 ; 2)$.
Ta có: $[\vec{u}, \vec{v}]=(0 ; 1 ;-1), \overrightarrow{A B}=(-2 ; 1 ; 2),[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \overrightarrow{A B}=-1 \neq 0 \Rightarrow d_1$ và $d_2$ chéo nhau $\Rightarrow$ có duy nhất một mặt phẳng $(P)$ song song và cách đều $d_1, d_2$.
$(P)$ đi qua trung điểm $I\left(1 ; \dfrac{1}{2} ; 1\right)$ của đoạn $\mathrm{AB}$ và nhận $[\vec{u}, \vec{v}]=(0 ; 1 ;-1)$ làm véc tơ pháp tuyến, vậy $(P): 2 y-2 z+1=0$, chỉ có điểm $N \in(P)$
Bài toán tổng quát: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ cách đều hai đường thẳng $d_1, d_2$.
Phương pháp giải
- Gọi $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt là các véc tơ chỉ phương của $d_1$ và $d_2$, lấy $A \in d_1, B \in d_2$.
- $(P)$ là mặt phẳng đi qua $I$ là trung điểm của $A B$ và có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=k[\vec{u} ; \vec{v}]$ với $k \neq 0$.
Đáp án D.