Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $O\text{x}yz$, cho đường thẳng $\!\!\Delta\!\!:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+3a+at \\
y=-2+t \\
z=2+3a+\left( 1+a \right)t \\
\end{array} \right. $. Biết khi $ a $ thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua điểm $ M\left( 1;1;1 \right) $ và tiếp xúc với đường thẳng $ \!\!\Delta\!\!$. Tìm bán kính của mặt cầu đó.
A. $5\sqrt{3}$.
B. $4\sqrt{3}$.
C. $7\sqrt{3}$.
D. $3\sqrt{5}$.
x=1+3a+at \\
y=-2+t \\
z=2+3a+\left( 1+a \right)t \\
\end{array} \right. $. Biết khi $ a $ thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua điểm $ M\left( 1;1;1 \right) $ và tiếp xúc với đường thẳng $ \!\!\Delta\!\!$. Tìm bán kính của mặt cầu đó.
A. $5\sqrt{3}$.
B. $4\sqrt{3}$.
C. $7\sqrt{3}$.
D. $3\sqrt{5}$.
Ta có ptts $\!\!\Delta\!\!:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+3a+at \\
y=-2+t \\
z=2+3a+\left( 1+a \right)t \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+\left( 3+t \right)a \\
y=-2+t \\
z=2+t+\left( 3+t \right)a \\
\end{array} \right.$
Nhận thấy $\!\!\Delta\!\!$ đi qua điểm cố định khi $t=-3$. Điểm cố định N có toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
y=-2+\left( -3 \right) \\
z=2+\left( -3 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow N\left( 1;-5;-1 \right)$
Ta nhận thấy hai điểm $M,N$ cố định nằm trên mặt cầu $\Rightarrow $ Tâm mặt cầu nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn $MN$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow I\left( 1;-2;0 \right);\overrightarrow{MN}=\left( 0;-6;-2 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( 1;-2;0 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{MN}=\left( 0;-6;-2 \right)$ có dạng $\left( P \right):0\left( x-1 \right)-6\left( y+2 \right)-2z=0\Leftrightarrow 3y+z+6=0$
Gọi $O\left( a';b';c' \right)$ là tâm mặt cầu $\Rightarrow O\in \left( P \right)\Rightarrow 3b'+c'+6=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{ON}=\left( 1-a';-5-b';-1-c' \right)$. VTCP của $\!\!\Delta\!\!:\overrightarrow{{{u}_{\!\!\Delta\!\!}}}=\left( a;1;1+a \right)$
Lại có, $ON\bot \!\!\Delta\!\!\Rightarrow \overrightarrow{ON}.\overrightarrow{{{u}_{\!\!\Delta\!\!}}}=0\Leftrightarrow a\left( 1-a\!\!'\!\! \right)-5-b\!\!'\!\!-\left( 1+c\!\!'\!\! \right)\left( 1+a \right)=o$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow a\left( 1-a\!\!'\!\!-1-c \right)-5-b\!\!'\!\!-1-c\!\!'\!\!=0\!\!~\!\!\forall \text{a}\in \mathbb{R} \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1-a\!\!'\!\!-1-c\!\!'\!\!=0 \\
-5-b\!\!'\!\!-1-c\!\!'\!\!=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a\!\!'\!\!+b\!\!'\!\!=0 \\
a\!\!'\!\!+b\!\!'\!\!=-6 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a\!\!'\!\!=6 \\
b\!\!'\!\!=0 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow O\left( 6;0;-6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left( -5;1;7 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{25+1+49}=5\sqrt{3}\Rightarrow R=5\sqrt{3}. \\
\end{array}$
x=1+3a+at \\
y=-2+t \\
z=2+3a+\left( 1+a \right)t \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+\left( 3+t \right)a \\
y=-2+t \\
z=2+t+\left( 3+t \right)a \\
\end{array} \right.$
Nhận thấy $\!\!\Delta\!\!$ đi qua điểm cố định khi $t=-3$. Điểm cố định N có toạ độ:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
y=-2+\left( -3 \right) \\
z=2+\left( -3 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow N\left( 1;-5;-1 \right)$
Ta nhận thấy hai điểm $M,N$ cố định nằm trên mặt cầu $\Rightarrow $ Tâm mặt cầu nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn $MN$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow I\left( 1;-2;0 \right);\overrightarrow{MN}=\left( 0;-6;-2 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( 1;-2;0 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{MN}=\left( 0;-6;-2 \right)$ có dạng $\left( P \right):0\left( x-1 \right)-6\left( y+2 \right)-2z=0\Leftrightarrow 3y+z+6=0$
Gọi $O\left( a';b';c' \right)$ là tâm mặt cầu $\Rightarrow O\in \left( P \right)\Rightarrow 3b'+c'+6=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{ON}=\left( 1-a';-5-b';-1-c' \right)$. VTCP của $\!\!\Delta\!\!:\overrightarrow{{{u}_{\!\!\Delta\!\!}}}=\left( a;1;1+a \right)$
Lại có, $ON\bot \!\!\Delta\!\!\Rightarrow \overrightarrow{ON}.\overrightarrow{{{u}_{\!\!\Delta\!\!}}}=0\Leftrightarrow a\left( 1-a\!\!'\!\! \right)-5-b\!\!'\!\!-\left( 1+c\!\!'\!\! \right)\left( 1+a \right)=o$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow a\left( 1-a\!\!'\!\!-1-c \right)-5-b\!\!'\!\!-1-c\!\!'\!\!=0\!\!~\!\!\forall \text{a}\in \mathbb{R} \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1-a\!\!'\!\!-1-c\!\!'\!\!=0 \\
-5-b\!\!'\!\!-1-c\!\!'\!\!=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a\!\!'\!\!+b\!\!'\!\!=0 \\
a\!\!'\!\!+b\!\!'\!\!=-6 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a\!\!'\!\!=6 \\
b\!\!'\!\!=0 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow O\left( 6;0;-6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left( -5;1;7 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{25+1+49}=5\sqrt{3}\Rightarrow R=5\sqrt{3}. \\
\end{array}$
Đáp án A.