Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\mathrm{Ox} y z$, cho mặt phẳng $(P): x+y+z+3=0$, đường thẳng d: $\dfrac{x-15}{1}=\dfrac{y-22}{2}=\dfrac{z-37}{2}$ và mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-8 x-6 y+4 z+8=0$. Trên mặt cầu $(S)$ lấy hai điểm $A, B$ sao cho $A B=8$. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}$ lần lượt là hai điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $A A^{\prime}, B B^{\prime}$ cùng song song với đường thẳng $d$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3 A A^{\prime}+B B^{\prime}$ là
A. $\dfrac{112-64 \sqrt{3}}{5}$.
B. $\dfrac{16-8 \sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{96-36 \sqrt{3}}{5}$.
D. $\dfrac{56-24 \sqrt{3}}{9}$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4 ; 3 ;-2)$, bán kính $R=\sqrt{21}$.
Gọi $F$ là trung điểm của $A B, M$ là trung điểm của $A F$. Ta có:
$
I F=\sqrt{I A^2-A F^2}=\sqrt{5}, I M=\sqrt{I F^2+M F^2}=3
$
$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$ tâm $I$ bán kính $R^{\prime}=3$.
Ta có: $d(I,(P))=\dfrac{8}{\sqrt{3}}>R$ nên $(S)$ không cắt $(P),\left(S^{\prime}\right)$ không cắt $(P)$
Gọi $M^{\prime}$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M M^{\prime}$ song song với đường thẳng $d$.
Ta có: $\quad S A A^{\prime} M^{\prime} M+S M M^{\prime} B^{\prime} B=S A A^{\prime} B^{\prime} B \Leftrightarrow() A A^{\prime}+M^{\prime} M . d() A A^{\prime}, M^{\prime} M 2+() B B^{\prime}+$ $M^{\prime} M .3 d() A A^{\prime}, M^{\prime} M 2=() A A^{\prime}+B B^{\prime} .4 d() A A^{\prime}, M^{\prime} M 2 \Leftrightarrow 3 A A^{\prime}+B B^{\prime}=4 M M^{\prime}$ $T$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M M^{\prime}$ nhỏ nhất.
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(P)$. Ta có: $M M^{\prime}=\dfrac{M H}{\sin (\overrightarrow{d,(P)})}=\dfrac{M H}{\mid \cos \left(\overrightarrow{\left.u_d, \overrightarrow{n_P}\right)} \mid\right.}=\dfrac{3 \sqrt{3} M H}{5}$
Mặt khác : $M H \geq d(I,(P))-R^{\prime}=\dfrac{8}{\sqrt{3}}-3 \Rightarrow T \geq \dfrac{96-36 \sqrt{3}}{5}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $\dfrac{96-36 \sqrt{3}}{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng qua $I$ vuông góc $(P)$ và mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$, đồng thời $I$ nằm ngoài đoạn $M H$.
A. $\dfrac{112-64 \sqrt{3}}{5}$.
B. $\dfrac{16-8 \sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{96-36 \sqrt{3}}{5}$.
D. $\dfrac{56-24 \sqrt{3}}{9}$.
Gọi $F$ là trung điểm của $A B, M$ là trung điểm của $A F$. Ta có:
$
I F=\sqrt{I A^2-A F^2}=\sqrt{5}, I M=\sqrt{I F^2+M F^2}=3
$
$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$ tâm $I$ bán kính $R^{\prime}=3$.
Ta có: $d(I,(P))=\dfrac{8}{\sqrt{3}}>R$ nên $(S)$ không cắt $(P),\left(S^{\prime}\right)$ không cắt $(P)$
Gọi $M^{\prime}$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M M^{\prime}$ song song với đường thẳng $d$.
Mặt khác : $M H \geq d(I,(P))-R^{\prime}=\dfrac{8}{\sqrt{3}}-3 \Rightarrow T \geq \dfrac{96-36 \sqrt{3}}{5}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $\dfrac{96-36 \sqrt{3}}{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng qua $I$ vuông góc $(P)$ và mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$, đồng thời $I$ nằm ngoài đoạn $M H$.
Đáp án C.