Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\left( Oxyz \right)$, cho hai điểm $A\left( 2;-1;-3 \right)$, $B\left( 0;1;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2\text{x}+y-2z-4=0$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $\widehat{AMB}$ lớn nhất thì giá trị của $\sin \widehat{AMB}$ bằng
A. $-\dfrac{5}{13}$
B. $-\dfrac{12}{13}$.
C. $\dfrac{12}{13}$.
D. $\dfrac{5}{13}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-1 \right),AB=3$ và ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 2;1;-2 \right)$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=-4+2+2=0$ hay $AB\parallel \left( P \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 1;0;-\dfrac{5}{2} \right)$. Xét mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$.
Do $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2\times 1-0-2\times \left( -\dfrac{5}{2} \right)-4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{3}=1<\dfrac{AB}{2}=\dfrac{3}{2}$.
Nên mặt cầu $\left( S \right)$ sẽ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo một đường tròn có tâm $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và bán kính $r=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}-{{d}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Xét điểm $M$ bất kỳ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nằm ngoài đường tròn tâm $H$ bán kính $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Gọi $M'$ là giao điểm của $IM$ và mặt cầu $\left( S \right)$, khi đó $\widehat{AMB}<\widehat{AM'B}={{90}^{{}^\circ }}$.
Vậy $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nằm trong đường tròn tâm $H$ bán kính $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $\cot AMB=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{4{{S}_{AMB}}};M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$.
$\Rightarrow \cot AMB=\dfrac{2M{{I}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}}{4{{S}_{AMB}}}$.
Do $d\left( M,AB \right)\ge HI\Rightarrow {{S}_{AMB}}\ge {{S}_{AHB}}=\dfrac{1}{2}.1.3=\dfrac{3}{2}$, $M{{I}^{2}}\ge H{{I}^{2}}=1$ và $\cot AMB<0$.
Nên để $\widehat{AMB}$ lớn nhất thì $M\equiv H$ và $\cot AMB=\dfrac{2-\dfrac{9}{2}}{4\times \dfrac{3}{2}}=-\dfrac{5}{12}\Rightarrow \sin \widehat{AMB}=-\dfrac{5}{13}$.
A. $-\dfrac{5}{13}$
B. $-\dfrac{12}{13}$.
C. $\dfrac{12}{13}$.
D. $\dfrac{5}{13}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 1;0;-\dfrac{5}{2} \right)$. Xét mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$.
Do $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2\times 1-0-2\times \left( -\dfrac{5}{2} \right)-4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{3}=1<\dfrac{AB}{2}=\dfrac{3}{2}$.
Nên mặt cầu $\left( S \right)$ sẽ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo một đường tròn có tâm $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và bán kính $r=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}-{{d}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Xét điểm $M$ bất kỳ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nằm ngoài đường tròn tâm $H$ bán kính $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Gọi $M'$ là giao điểm của $IM$ và mặt cầu $\left( S \right)$, khi đó $\widehat{AMB}<\widehat{AM'B}={{90}^{{}^\circ }}$.
Vậy $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nằm trong đường tròn tâm $H$ bán kính $r=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $\cot AMB=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{4{{S}_{AMB}}};M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$.
$\Rightarrow \cot AMB=\dfrac{2M{{I}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}}{4{{S}_{AMB}}}$.
Do $d\left( M,AB \right)\ge HI\Rightarrow {{S}_{AMB}}\ge {{S}_{AHB}}=\dfrac{1}{2}.1.3=\dfrac{3}{2}$, $M{{I}^{2}}\ge H{{I}^{2}}=1$ và $\cot AMB<0$.
Nên để $\widehat{AMB}$ lớn nhất thì $M\equiv H$ và $\cot AMB=\dfrac{2-\dfrac{9}{2}}{4\times \dfrac{3}{2}}=-\dfrac{5}{12}\Rightarrow \sin \widehat{AMB}=-\dfrac{5}{13}$.
Đáp án A.