Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $\text{Ox}yz$, cho mặt cầu $(S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9$ và mặt phẳng $(P):2x-2y+z+14=0$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Tính $T=a+b+c$
A. $T=1$
B. $T=3$
C. $T=10$
D. $T=5$
A. $T=1$
B. $T=3$
C. $T=10$
D. $T=5$
Xét mặt cẩu (S) có tâm $I\left( -1;1;2 \right)$, bán kính $R=3$
Ta có $d\left[ I;\left( P \right) \right]=4>R\Rightarrow $ mặt phẳng (P) không cắt (S)
Để $d\left[ M;\left( P \right) \right]$ lớn nhất $\Leftrightarrow M=d\cap \left( S \right)$, với $d\bot \left( P \right)$ và d đi qua $I\left( -1;1;2 \right)$
Phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=1-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -1+2t;1-2t;2+t \right)$
Mà $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( -1+2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2+t-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $M\left( 1;-1;3 \right)$ hoặc $M\left( -3;3;1 \right)$ mà $d\left[ M;\left( P \right) \right]=R+d\left[ I;\left( P \right) \right]\Rightarrow M\left( 1;-1;3 \right)$.
Ta có $d\left[ I;\left( P \right) \right]=4>R\Rightarrow $ mặt phẳng (P) không cắt (S)
Để $d\left[ M;\left( P \right) \right]$ lớn nhất $\Leftrightarrow M=d\cap \left( S \right)$, với $d\bot \left( P \right)$ và d đi qua $I\left( -1;1;2 \right)$
Phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=1-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -1+2t;1-2t;2+t \right)$
Mà $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( -1+2t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2+t-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $M\left( 1;-1;3 \right)$ hoặc $M\left( -3;3;1 \right)$ mà $d\left[ M;\left( P \right) \right]=R+d\left[ I;\left( P \right) \right]\Rightarrow M\left( 1;-1;3 \right)$.
Đáp án B.