Google
Câu hỏi: Trong không gian toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$. Hai điểm $M,N$ lần lượt di động trên $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ sao cho $MN$ luôn cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-2 \right)$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng
A. $6\sqrt{5}$.
B. $18$.
C. $10\sqrt{3}$.
D. $10+5\sqrt{3}$.
A. $6\sqrt{5}$.
B. $18$.
C. $10\sqrt{3}$.
D. $10+5\sqrt{3}$.
Gọi $N\left( a,b,c \right)\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c+3 \right)}^{2}}=25$.
Do $\overrightarrow{NM}=k.\overrightarrow{u}=k\left( 1;2;-2 \right)\Rightarrow M\left( k+a;2k+b;-2k+c \right)$.
Mặt khác :
$M\in \left( P \right)\Rightarrow \left( k+a \right)-\left( 2k+b \right)+\left( -2k+c \right)+3=0\Leftrightarrow \left( a-1 \right)-\left( b+2 \right)+\left( c-3 \right)=3k-9$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
${{\left( 3k-9 \right)}^{2}}={{\left( \left( a-1 \right)-\left( b+2 \right)+\left( c-3 \right) \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}} \right)=75$
$\Leftrightarrow \dfrac{9-5\sqrt{3}}{3}\le k\le \dfrac{9+5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow MN=\left| \overrightarrow{MN} \right|=\left| k.\overrightarrow{u} \right|=\left| k \right|\left| \overrightarrow{u} \right|=3\left| k \right|\in \left[ 9-5\sqrt{3};9+5\sqrt{3} \right].$
Do $\overrightarrow{NM}=k.\overrightarrow{u}=k\left( 1;2;-2 \right)\Rightarrow M\left( k+a;2k+b;-2k+c \right)$.
Mặt khác :
$M\in \left( P \right)\Rightarrow \left( k+a \right)-\left( 2k+b \right)+\left( -2k+c \right)+3=0\Leftrightarrow \left( a-1 \right)-\left( b+2 \right)+\left( c-3 \right)=3k-9$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
${{\left( 3k-9 \right)}^{2}}={{\left( \left( a-1 \right)-\left( b+2 \right)+\left( c-3 \right) \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}} \right)=75$
$\Leftrightarrow \dfrac{9-5\sqrt{3}}{3}\le k\le \dfrac{9+5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow MN=\left| \overrightarrow{MN} \right|=\left| k.\overrightarrow{u} \right|=\left| k \right|\left| \overrightarrow{u} \right|=3\left| k \right|\in \left[ 9-5\sqrt{3};9+5\sqrt{3} \right].$
Đáp án B.