Trong không gian toạ độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $\left( P...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Trong không gian toạ độ

O x y z

, cho mặt phẳng

(P) : x - y + z + 3 = 0

và mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25

. Hai điểm

M, N

lần lượt di động trên

(P)

và

(S)

sao cho

M N

luôn cùng phương với

\vec{u} = (1; 2; - 2)

. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng

M N

bằng
A.

6 \sqrt{5}

.
B.

18

.
C.

10 \sqrt{3}

.
D.

10 + 5 \sqrt{3}

.

Gọi

N (a, b, c) \in (S) \Rightarrow {(a - 1)}^{2} + {(b + 2)}^{2} + {(c + 3)}^{2} = 25

.
Do

\vec{N M} = k . \vec{u} = k (1; 2; - 2) \Rightarrow M (k + a; 2 k + b; - 2 k + c)

.
Mặt khác :

M \in (P) \Rightarrow (k + a) - (2 k + b) + (- 2 k + c) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a - 1) - (b + 2) + (c - 3) = 3 k - 9

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

{(3 k - 9)}^{2} = {((a - 1) - (b + 2) + (c - 3))}^{2} \leq (1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}) ({(a - 1)}^{2} + {(b + 2)}^{2} + {(c - 3)}^{2}) = 75

\Leftrightarrow \frac{9 - 5 \sqrt{3}}{3} \leq k \leq \frac{9 + 5 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow M N = | \vec{M N} | = | k . \vec{u} | = | k | | \vec{u} | = 3 | k | \in [9 - 5 \sqrt{3}; 9 + 5 \sqrt{3}] .

Đáp án B.

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P...