Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi luôn đi qua điểm $A\left( 2;1;9 \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến $\left( P \right)$. Giá trị M + m bằng:
A. 8.
B. $8\sqrt{3}.$
C. 9.
D. $\sqrt{15}.$
A. 8.
B. $8\sqrt{3}.$
C. 9.
D. $\sqrt{15}.$
Ta có: $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
Mặt khác $D\left( I;\left( P \right) \right)=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$.
Do đó $c\ne 0$ chọn $c=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$.
Đặt $a=\sqrt{3}\sin t;\ b=\sqrt{3}\cos t\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{2}=\dfrac{\left| 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t+9 \right|}{2}$.
Mặt khác $-\sqrt{12+3}\le 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t\le \sqrt{12+3}\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le {{d}_{0}}\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M+m=9$.
Mặt khác $D\left( I;\left( P \right) \right)=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$.
Do đó $c\ne 0$ chọn $c=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$.
Đặt $a=\sqrt{3}\sin t;\ b=\sqrt{3}\cos t\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{2}=\dfrac{\left| 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t+9 \right|}{2}$.
Mặt khác $-\sqrt{12+3}\le 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t\le \sqrt{12+3}\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le {{d}_{0}}\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M+m=9$.
Đáp án C.