Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S...

Ta có $\{\begin{array}{rl}& x+2y-2z-4=0\\ & 2x-2y-z+1=0\end{array}$.
Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là $\{\begin{array}{rl}& x=-2+2t\\ & y=t\\ & z=-3+2t\end{array}$.
$A\in \left(\mathrm{\Delta }\right)\Rightarrow A(-2+2t;t;-3+2t)$.
$A\in \left(S\right)\Rightarrow {(-2+2t)}^2+t^2+{(-3+2t)}^2+4(-2+2t)-6t+m=0$ (*).
(*) $\iff 9t^2-18t+5+m=0$.
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=36-9m>0\iff m<4$.
Khi đó $A(-2+2t_1;t_1;-3+2t_1),B(-2+2t_2;t_2;-3+2t_2)$.
$t_1+t_1=2,t_1{t}_2={\displaystyle \frac{5+m}{9}}$.
$AB=8\iff A{B}^2=64$. Suy ra $9{(t_2-t_1)}^2=64\iff 9[{(t_1+t_2)}^2-4t_1{t}_2]=64$
$\Rightarrow 9.[2^2-4\left({\displaystyle \frac{5+m}{9}}\right)]=64\iff m=-12$.
Cách 2:
Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(-2;3;0)$, $R=\sqrt{13-m}$, $m<13$.
Đường thẳng $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ qua $M_0(-2;0;-3)$, có VTCP $\overrightarrow{u}=(2;1;2)$
$d=d(I;\left(\mathrm{\Delta }\right))={\displaystyle \frac{\left|[\overrightarrow{I{M}_0};\overrightarrow{u}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}}=3$
Yêu cầu đề bài tương đương $R^2={\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}+d^2\iff 13-m=16+9\iff m=-12\left(n\right)$.