Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+m=0$ và đường
thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-2z-4=0$ và $\left( \beta \right):2x-2y-z+1=0$. Đường
thẳng $\Delta $ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ thỏa mãn $AB=8$ khi:
A. $m=12.$
B. $m=-12.$
C. $m=-10.$
D. $m=5.$
thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-2z-4=0$ và $\left( \beta \right):2x-2y-z+1=0$. Đường
thẳng $\Delta $ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ thỏa mãn $AB=8$ khi:
A. $m=12.$
B. $m=-12.$
C. $m=-10.$
D. $m=5.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-2z-4=0 \\
& 2x-2y-z+1=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình tham số của $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=t \\
& z=-3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
$A\in \left( \Delta \right)\Rightarrow A\left( -2+2t;t;-3+2t \right)$.
$A\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( -2+2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( -3+2t \right)}^{2}}+4\left( -2+2t \right)-6t+m=0$ (*).
(*) $\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}-18t+5+m=0$.
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi ${\Delta }'=36-9m>0\Leftrightarrow m<4$.
Khi đó $A\left( -2+2{{t}_{1}};{{t}_{1}};-3+2{{t}_{1}} \right),B\left( -2+2{{t}_{2}};{{t}_{2}};-3+2{{t}_{2}} \right)$.
${{t}_{1}}+{{t}_{1}}=2,{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac{5+m}{9}$.
$AB=8\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=64$. Suy ra $9{{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}^{2}}=64\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right]=64$
$\Rightarrow 9.\left[ {{2}^{2}}-4\left( \dfrac{5+m}{9} \right) \right]=64\Leftrightarrow m=-12$.
Cách 2:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;3;0 \right)$, $R=\sqrt{13-m}$, $m<13$.
Đường thẳng $\left( \Delta \right)$ qua ${{M}_{0}}\left( -2;0;-3 \right)$, có VTCP $\vec{u}=\left( 2;1;2 \right)$
$d=d\left( I;\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=3$
Yêu cầu đề bài tương đương ${{R}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+{{d}^{2}}\Leftrightarrow 13-m=16+9\Leftrightarrow m=-12 \left( n \right)$.
& x+2y-2z-4=0 \\
& 2x-2y-z+1=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình tham số của $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=t \\
& z=-3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
$A\in \left( \Delta \right)\Rightarrow A\left( -2+2t;t;-3+2t \right)$.
$A\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( -2+2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( -3+2t \right)}^{2}}+4\left( -2+2t \right)-6t+m=0$ (*).
(*) $\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}-18t+5+m=0$.
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi ${\Delta }'=36-9m>0\Leftrightarrow m<4$.
Khi đó $A\left( -2+2{{t}_{1}};{{t}_{1}};-3+2{{t}_{1}} \right),B\left( -2+2{{t}_{2}};{{t}_{2}};-3+2{{t}_{2}} \right)$.
${{t}_{1}}+{{t}_{1}}=2,{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac{5+m}{9}$.
$AB=8\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=64$. Suy ra $9{{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}^{2}}=64\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right]=64$
$\Rightarrow 9.\left[ {{2}^{2}}-4\left( \dfrac{5+m}{9} \right) \right]=64\Leftrightarrow m=-12$.
Cách 2:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;3;0 \right)$, $R=\sqrt{13-m}$, $m<13$.
Đường thẳng $\left( \Delta \right)$ qua ${{M}_{0}}\left( -2;0;-3 \right)$, có VTCP $\vec{u}=\left( 2;1;2 \right)$
$d=d\left( I;\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=3$
Yêu cầu đề bài tương đương ${{R}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+{{d}^{2}}\Leftrightarrow 13-m=16+9\Leftrightarrow m=-12 \left( n \right)$.
Đáp án B.