Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{5}{6}$, mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-1=0$ và điểm $A\left( 1;1;1 \right)$. Điểm M thay đổi trên đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$. Giá trị lớn nhất của $P=AM$ là
A. $\sqrt{2}$
B. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{\dfrac{35}{6}}$
A. $\sqrt{2}$
B. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{\dfrac{35}{6}}$
Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên $\left( P \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{AI}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow A\text{E}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$, giao điểm của AI và $\left( P \right)$ là $E\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-1;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{\dfrac{5}{6}}$, bán kính đường tròn giao tuyến là
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-d_{\left( I;(P) \right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên $\left( P \right)\Rightarrow IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Giải $1+t-1+t+t-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow K\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
Ta có: $A{{M}^{2}}=A{{\text{E}}^{2}}+E{{M}^{2}}$ lớn nhất khi $E{{M}_{\max }}$.
Mặt khác $E{{M}_{\max }}=EK+r=\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{P}_{\max }}=\sqrt{EM_{\max }^{2}+A{{E}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{210}}{6}$.
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{AI}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow A\text{E}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$, giao điểm của AI và $\left( P \right)$ là $E\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-1;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{\dfrac{5}{6}}$, bán kính đường tròn giao tuyến là
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-d_{\left( I;(P) \right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên $\left( P \right)\Rightarrow IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Giải $1+t-1+t+t-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow K\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
Ta có: $A{{M}^{2}}=A{{\text{E}}^{2}}+E{{M}^{2}}$ lớn nhất khi $E{{M}_{\max }}$.
Mặt khác $E{{M}_{\max }}=EK+r=\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{P}_{\max }}=\sqrt{EM_{\max }^{2}+A{{E}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{210}}{6}$.
Đáp án D.