Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4\text{x}-6y+m=0$ và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-2\text{z}-4=0$ và $\left( \beta \right):2x-y-z+1=0$. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn $AB=8$ khi:
A. $m=12$
B. $m=-12$
C. $m=-10$
D. $m=5$
A. $m=12$
B. $m=-12$
C. $m=-10$
D. $m=5$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;3;0 \right)$ ; $R=\sqrt{13-m}$
Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-2\text{z}-4=0$ và $\left( \beta \right):2\text{x}-2y-z+1=0$.
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=-3\left( 2;1;2 \right)$, lại có điểm $M\left( 0;1;-1 \right)\in $ giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Suy ra $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $; gọi $ H\left( 2t;1+t;-1+2t \right)$ là hình chiếu vuông góc của I lên Δ.
Ta có: $\overrightarrow{IH}\left( 2t+2;t-2;2t-1 \right).\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( 2;1;2 \right)=4t+4+t-2+4t-2=0\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow H\left( 0;1;-1 \right)$.
Khi đó ${{R}^{2}}=I{{H}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}=9+16=25=13-m\Rightarrow m=-12$.
Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-2\text{z}-4=0$ và $\left( \beta \right):2\text{x}-2y-z+1=0$.
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=-3\left( 2;1;2 \right)$, lại có điểm $M\left( 0;1;-1 \right)\in $ giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Suy ra $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $; gọi $ H\left( 2t;1+t;-1+2t \right)$ là hình chiếu vuông góc của I lên Δ.
Ta có: $\overrightarrow{IH}\left( 2t+2;t-2;2t-1 \right).\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( 2;1;2 \right)=4t+4+t-2+4t-2=0\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow H\left( 0;1;-1 \right)$.
Khi đó ${{R}^{2}}=I{{H}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}=9+16=25=13-m\Rightarrow m=-12$.
Đáp án B.