Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-7=0$ và đi qua hai điểm $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 2;5;3 \right).$ Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{470}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{546}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{763}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{345}}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{470}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{546}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{763}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{345}}{3}.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;3;2 \right)$. Gọi H là trung điểm AB. Khi đó $H\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2};2 \right)$.
Gọi I là tâm mặt cầu $\left( S \right)$. Khi đó, ta có I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó, $\left( Q \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;3;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $x+3y+2\text{z}-16=0$.
Gọi M là điểm thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Tọa độ của M là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-7=0 \\
& x+3y+2\text{z}-16=0 \\
\end{aligned} \right. $, chọn $ M\left( -11;9;0 \right)$.
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Khi đó, d có vectơ chỉ phương
$\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1;-1;1 \right)$.
Vậy phương trình của d là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-11+t \\
& y=9-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Điểm I nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, suy ra $I\left( -11+t;9-t;t \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{\left( t-\dfrac{20}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{182}{3}}\ge \dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi và chỉ khi $I\left( -\dfrac{13}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{20}{3} \right)$.
Gọi I là tâm mặt cầu $\left( S \right)$. Khi đó, ta có I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó, $\left( Q \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;3;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $x+3y+2\text{z}-16=0$.
Gọi M là điểm thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Tọa độ của M là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y+z-7=0 \\
& x+3y+2\text{z}-16=0 \\
\end{aligned} \right. $, chọn $ M\left( -11;9;0 \right)$.
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Khi đó, d có vectơ chỉ phương
$\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1;-1;1 \right)$.
Vậy phương trình của d là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-11+t \\
& y=9-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Điểm I nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, suy ra $I\left( -11+t;9-t;t \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{\left( t-\dfrac{20}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{182}{3}}\ge \dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi và chỉ khi $I\left( -\dfrac{13}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{20}{3} \right)$.
Đáp án B.