Google
Câu hỏi: . Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;0;1 \right),\ $ bán kính ${{R}_{1}}=2$ và mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 1;3;5 \right),$ bán kính ${{R}_{2}}=1.$ Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right),\ \left( {{S}_{2}} \right)$ lần lượt tại A và B. Gọi $M,\ m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn AB. Tính giá trị của $P=M.m$
A. $P=2\sqrt{6}.$
B. $P=8\sqrt{5}.$
C. $P=4\sqrt{5}.$
D. $P=8\sqrt{6}.$
A. $P=2\sqrt{6}.$
B. $P=8\sqrt{5}.$
C. $P=4\sqrt{5}.$
D. $P=8\sqrt{6}.$
Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=5>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=3,{{\text{I}}_{1}}A\text{ // }{{\text{I}}_{2}}B$.
Ta có ${{I}_{1}}I_{2}^{2}={{\left( \overrightarrow{{{I}_{1}}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{{I}_{2}}} \right)}^{2}}=R_{1}^{2}+A{{B}^{2}}+R_{2}^{2}+2\overrightarrow{{{I}_{1}}A}.\overrightarrow{B{{I}_{2}}}$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=20+2\overrightarrow{{{I}_{1}}A}.\overrightarrow{{{I}_{2}}B}=20+2.2.1.\cos \left( \overrightarrow{{{I}_{1}}A},\overrightarrow{{{I}_{2}}B} \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \max AB=2\sqrt{6}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{I}_{1}}A}\nearrow \nearrow \overrightarrow{{{I}_{2}}B} \\
& \min AB=4\Leftrightarrow \overrightarrow{{{I}_{1}}A}\nearrow \swarrow \overrightarrow{{{I}_{2}}B} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=2\sqrt{6}.4=8\sqrt{6}$.
Ta có ${{I}_{1}}I_{2}^{2}={{\left( \overrightarrow{{{I}_{1}}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{{I}_{2}}} \right)}^{2}}=R_{1}^{2}+A{{B}^{2}}+R_{2}^{2}+2\overrightarrow{{{I}_{1}}A}.\overrightarrow{B{{I}_{2}}}$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=20+2\overrightarrow{{{I}_{1}}A}.\overrightarrow{{{I}_{2}}B}=20+2.2.1.\cos \left( \overrightarrow{{{I}_{1}}A},\overrightarrow{{{I}_{2}}B} \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \max AB=2\sqrt{6}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{I}_{1}}A}\nearrow \nearrow \overrightarrow{{{I}_{2}}B} \\
& \min AB=4\Leftrightarrow \overrightarrow{{{I}_{1}}A}\nearrow \swarrow \overrightarrow{{{I}_{2}}B} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=2\sqrt{6}.4=8\sqrt{6}$.
Đáp án D.