Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-1=0$ và $\left( Q \right):2x-y+z-6=0.$ Viết phương trình mặt phẳng...

Phương pháp:
- Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \\
& \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right. $ và suy ra phương trình đường thẳng giao tuyến của $ \left( P \right),\left( Q \right).$
- Xác định $\overrightarrow{u}$ là VTCP của đường thẳng giao tuyến.
- Lấy $M\in $ giao tuyến (bất kì). Tính $\overrightarrow{AM}.$
- $\left( R \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right].$
- Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( A;B;C \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
Cách giải:
Gọi $\Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x+y-z-1=0 \\
& 2x-y+z-6=0 \\
\end{aligned} \right..$
Cho $z=t$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x+y-t-1=0 \\
& 2x-y+t-6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x-7=0 \\
& y=-x+t+1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{7}{3} \\
& y=-\dfrac{4}{3}+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \Delta $ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;1 \right)$ và đi qua điểm $M\left( \dfrac{7}{3};-\dfrac{4}{3};0 \right).$
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{10}{3};-\dfrac{4}{3};-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right]=\left( \dfrac{5}{3};-\dfrac{10}{3};\dfrac{10}{3} \right)=\dfrac{5}{3}\left( 1;-2;2 \right).$
Gọi $\overrightarrow{n}$ là 1 VTCP của mặt phẳng $\left( R \right).$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( R \right) \\
& A,M\in \left( R \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{u} \\
& \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{AM} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;-2;2 \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $1\left( x+1 \right)-2y+2\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+2z-5=0.$