Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;1;3...

Hình vẽ tham khảo

Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;4;2).$ Mặt cầu $\left(S\right)$ đường kính AB có tâm $I(4;3;4)$ và bán kính $R={\displaystyle \frac{1}{2}}AB=3$
Gọi r là bán kính của đường tròn tâm H. Vì thể tích khối nón lớn nhất nên ta chỉ cần xét trường hợp H thuộc đoạn IB, tức là $AH>3.$ Đặt $IH=x,0\le x<3\Rightarrow r^2=R^2-x^2=9-x^2.$
Khi đó thể tích khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H là
V $V={\displaystyle \frac{1}{3}}AH.\pi .r^2={\displaystyle \frac{1}{3}}(3+x.)\pi (9-x^2)={\displaystyle \frac{1}{6}}(3+x.).(3+x.)(6-2x)\pi \stackrel{\cos i}{\le }{\displaystyle \frac{1}{6}}.{\left({\displaystyle \frac{12}{3}}\right)}^3\pi ={\displaystyle \frac{32}{3}}\pi$,
Thể tích lớn nhất bằng ${\displaystyle \frac{32}{3}}\pi \iff 3+x=6-2x\iff x=1$
Ta có mặt phẳng $\left(P\right)$ nhận ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}=(2;2;1)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là
$2\text{x}+2y+z+m=0.$ Lại có $d(H;\left(P\right))=1\iff {\displaystyle \frac{|18+m|}{3}}=1[\begin{array}{rl}& m=-15\\ & m=-21\end{array}$
Khi $m=-15$ ta có phương trình mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z-15-0$ lúc này I và B nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left(P\right)(AH=d(A;\left(P\right))<3)$ nên loại.
Khi $m=-21$ ta có phương trình mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z-21=0$ lúc này I và B nằm khác phía so với mặt phẳng $\left(P\right)(AH=d(A;\left(P\right))>3)$ nên nhận.
Vậy $b=2;c=1;d=-21\Rightarrow S=-18.$