Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;1;3 \right),B\left( 6;5;5 \right).$ Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phang $\left( P \right)$ vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có thể tích lớn nhất, biết rằng $\left( p \right):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in Z.$ Tính $S=b+c+d.$
A. $S=-18$
B. $S=-11$
C. $S=-24$
D. $S=-14$
A. $S=-18$
B. $S=-11$
C. $S=-24$
D. $S=-14$
Hình vẽ tham khảo
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right).$ Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính AB có tâm $I\left( 4;3;4 \right)$ và bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB=3$
Gọi r là bán kính của đường tròn tâm H. Vì thể tích khối nón lớn nhất nên ta chỉ cần xét trường hợp H thuộc đoạn IB, tức là $AH>3.$ Đặt $IH=x,0\le x<3\Rightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}=9-{{x}^{2}}.$
Khi đó thể tích khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H là
V $V=\dfrac{1}{3}AH.\pi .{{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}\left( 3+x. \right)\pi \left( 9-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{6}\left( 3+x. \right).\left( 3+x. \right)\left( 6-2x \right)\pi \overset{\cos i}{\mathop{\le }} \dfrac{1}{6}.{{\left( \dfrac{12}{3} \right)}^{3}}\pi =\dfrac{32}{3}\pi $,
Thể tích lớn nhất bằng $\dfrac{32}{3}\pi \Leftrightarrow 3+x=6-2x\Leftrightarrow x=1$
Ta có mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là
$2\text{x}+2y+z+m=0.$ Lại có $d\left( H;\left( P \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| 18+m \right|}{3}=1\left[ \begin{aligned}
& m=-15 \\
& m=-21 \\
\end{aligned} \right.$
Khi $m=-15$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-15-0$ lúc này I và B nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)\left( AH=d\left( A;\left( P \right) \right)<3 \right)$ nên loại.
Khi $m=-21$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-21=0$ lúc này I và B nằm khác phía so với mặt phẳng $\left( P \right)\left( AH=d\left( A;\left( P \right) \right)>3 \right)$ nên nhận.
Vậy $b=2;c=1;d=-21\Rightarrow S=-18.$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right).$ Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính AB có tâm $I\left( 4;3;4 \right)$ và bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB=3$
Gọi r là bán kính của đường tròn tâm H. Vì thể tích khối nón lớn nhất nên ta chỉ cần xét trường hợp H thuộc đoạn IB, tức là $AH>3.$ Đặt $IH=x,0\le x<3\Rightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}=9-{{x}^{2}}.$
Khi đó thể tích khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H là
V $V=\dfrac{1}{3}AH.\pi .{{r}^{2}}=\dfrac{1}{3}\left( 3+x. \right)\pi \left( 9-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{6}\left( 3+x. \right).\left( 3+x. \right)\left( 6-2x \right)\pi \overset{\cos i}{\mathop{\le }} \dfrac{1}{6}.{{\left( \dfrac{12}{3} \right)}^{3}}\pi =\dfrac{32}{3}\pi $,
Thể tích lớn nhất bằng $\dfrac{32}{3}\pi \Leftrightarrow 3+x=6-2x\Leftrightarrow x=1$
Ta có mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là
$2\text{x}+2y+z+m=0.$ Lại có $d\left( H;\left( P \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| 18+m \right|}{3}=1\left[ \begin{aligned}
& m=-15 \\
& m=-21 \\
\end{aligned} \right.$
Khi $m=-15$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-15-0$ lúc này I và B nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)\left( AH=d\left( A;\left( P \right) \right)<3 \right)$ nên loại.
Khi $m=-21$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-21=0$ lúc này I và B nằm khác phía so với mặt phẳng $\left( P \right)\left( AH=d\left( A;\left( P \right) \right)>3 \right)$ nên nhận.
Vậy $b=2;c=1;d=-21\Rightarrow S=-18.$
Đáp án A.