Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;-3)$. Hình chiếu của M tương ứng lên $Ox,Oy,Oz,(Oyz),(Ozx),(Oxy)$ là $A,B,C,D,E,F$. Gọi P và Q...

Phương pháp giải:
- Xác định tọa độ các điểm $A,B,C,D,E,F$.
- Viết phương trình tham số đường thẳng $OM$.
- Viết phương trình cá mặt phẳng $(ABC)$ và $(DEF)$.
- Tham số hóa tọa độ các điểm P, Q thuộc OM, cho $P\in \left(ABC\right);Q\in \left(DEF\right)$, tìm tọa độ P, Q.
- Tính độ dài $PQ=\sqrt{{(x_Q-x_P)}^2+{(y_Q-y_P)}^2+{(z_Q-z_P)}^2}$.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0;-3), D(0; 2;-3), E(1; 0;-3), F(1; 2; 0).
Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng (ABC) và (DEF). Độ dài PQ bằng:
+ Ta có: $\overrightarrow{OM}=(1;2;-3)$ là 1 VTCP của đường thẳng OM, nên phương trình đường thẳng OM là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-3t\end{array}$.
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) là ${\displaystyle \frac{x}{1}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{z}{-3}}=1\iff 6x+3y-2z-6=0$.
Gọi $OM\cap \left(ABC\right)=P(p;2p;-3p)$, ta có $P\in \left(ABC\right)$ nên:
$6p+3.2p-2.(-3p)-6=0\iff p={\displaystyle \frac{1}{3}}$
$\Rightarrow P({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}};-1)$.
+ Ta có: $\overrightarrow{DE}=(1;-2;0);\overrightarrow{DF}=(1;0;3)$ $\Rightarrow [\overrightarrow{DE};\overrightarrow{DF}]=(-6;-3;2)$ là 1 VTPT của (DEF).
⇒ Phương trình mặt phẳng (DEF) là: $-6x-3(y-2)+2(z+3)=0\iff -6x-3y+2z+12=0$.
Gọi $OM\cap \left(DEF\right)=Q(q;2q;-3q)$, ta có $Q\in \left(DEF\right)$ nên:
$-6q-3.2q+2(-3q)+12=0\iff q={\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\Rightarrow Q({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{4}{3}};-2)$.
Vậy $PQ=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+{(-1)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{3}}$.