Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;-3)$. Hình chiếu của M tương ứng lên $Ox,Oy,Oz,(Oyz),(Ozx),(Oxy)$ là $A,B,C,D,E,F$. Gọi P và Q...

Phương pháp giải:
- Xác định tọa độ các điểm $A,B,C,D,E,F$.
- Viết phương trình tham số đường thẳng $OM$.
- Viết phương trình cá mặt phẳng $(ABC)$ và $(DEF)$.
- Tham số hóa tọa độ các điểm P, Q thuộc OM, cho $P\in \left( ABC \right);Q\in \left( DEF \right)$, tìm tọa độ P, Q.
- Tính độ dài $PQ=\sqrt{{{\left( {{x}_{Q}}-{{x}_{P}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{Q}}-{{y}_{P}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{Q}}-{{z}_{P}} \right)}^{2}}}$.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0;-3), D(0; 2;-3), E(1; 0;-3), F(1; 2; 0).
Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng (ABC) và (DEF). Độ dài PQ bằng:
+ Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left( 1;2;-3 \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng OM, nên phương trình đường thẳng OM là $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=2t \\
z=-3t \\
\end{array} \right.$.
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{-3}=1\Leftrightarrow 6x+3y-2z-6=0$.
Gọi $OM\cap \left( ABC \right)=P\left( p;2p;-3p \right)$, ta có $P\in \left( ABC \right)$ nên:
$6p+3.2p-2.\left( -3p \right)-6=0\Leftrightarrow p=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow P\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};-1 \right)$.
+ Ta có: $\overrightarrow{DE}=\left( 1;-2;0 \right);\overrightarrow{DF}=\left( 1;0;3 \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{DE};\overrightarrow{DF} \right]=\left( -6;-3;2 \right)$ là 1 VTPT của (DEF).
⇒ Phương trình mặt phẳng (DEF) là: $-6x-3\left( y-2 \right)+2\left( z+3 \right)=0\Leftrightarrow -6x-3y+2z+12=0$.
Gọi $OM\cap \left( DEF \right)=Q\left( q;2q;-3q \right)$, ta có $Q\in \left( DEF \right)$ nên:
$-6q-3.2q+2\left( -3q \right)+12=0\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow Q\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};-2 \right)$.
Vậy $PQ=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}$.