Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 4;6;-9 \right),B\left( 2;3;-4 \right).$ Lấy hai điểm A, D thay đổi trên đường thẳng $\Delta :\dfrac{x+4}{-3}=\dfrac{y-6}{2}=\dfrac{z-5}{1}$ sao cho $C\text{D}=2\sqrt{14}.$ Khi khối cần nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất thì trọng tâm của tứ diện là $E\left( a,b,c \right).$ Tính $a+b+c.$
A. -1.
B. 2.
C. 4.
D. 7.
Bán kính khối cầu nội tiếp tứ diện ABCD là
$r=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{tp}}}=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{BCD}}+{{S}_{ACD}}+{{S}_{ABC}}+{{S}_{ACD}}}$
Từ giả thiết dễ thấy rằng
${{S}_{BCD}}=conts;{{S}_{ACD}}=conts;{{V}_{ABCD}}=conts.$
Do đó ${{\left( r \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( {{S}_{tp}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( {{S}_{ABC}}+{{S}_{ABD}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left[ d\left( C;AB \right)+d\left( D;AB \right) \right]}_{\min }}\left( * \right)$
Mặt khác: hai đường thẳng AB và CD chéo nhau nên (*) xảy ra khi
${{\left[ d\left( I;AB \right) \right]}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overline{IA} \right] \right|}_{\min }}.$ Gọi $I\left( -4-3t;6+2t;5+t \right)\in \Delta .$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;-3;5 \right) \\
& \overrightarrow{IA}=\left( 8+3t;-2t;-14-t \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA} \right]=\left( 13t+42;13t+12;13t+24 \right).$
Suy ra $\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IA} \right] \right|=\sqrt{507{{t}^{2}}+2028t+2484}=\sqrt{507{{\left( t+2 \right)}^{2}}+456}\ge 2\sqrt{114}$
Dấu bằng xảy ra khi $t=-2\Rightarrow I\left( 2;2;3 \right)$
Gọi $J\left( 3;\dfrac{9}{2};-\dfrac{13}{2} \right)$ là trung điểm của AB.
Khi đó trọng tâm của tứ diện là trung điểm của $IJ\Rightarrow E\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{13}{2};-\dfrac{7}{4} \right)\Rightarrow a+b+c=4.$
A. -1.
B. 2.
C. 4.
D. 7.
Bán kính khối cầu nội tiếp tứ diện ABCD là
$r=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{tp}}}=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{BCD}}+{{S}_{ACD}}+{{S}_{ABC}}+{{S}_{ACD}}}$
Từ giả thiết dễ thấy rằng
${{S}_{BCD}}=conts;{{S}_{ACD}}=conts;{{V}_{ABCD}}=conts.$
Do đó ${{\left( r \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( {{S}_{tp}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( {{S}_{ABC}}+{{S}_{ABD}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left[ d\left( C;AB \right)+d\left( D;AB \right) \right]}_{\min }}\left( * \right)$
Mặt khác: hai đường thẳng AB và CD chéo nhau nên (*) xảy ra khi
${{\left[ d\left( I;AB \right) \right]}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overline{IA} \right] \right|}_{\min }}.$ Gọi $I\left( -4-3t;6+2t;5+t \right)\in \Delta .$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;-3;5 \right) \\
& \overrightarrow{IA}=\left( 8+3t;-2t;-14-t \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA} \right]=\left( 13t+42;13t+12;13t+24 \right).$
Suy ra $\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IA} \right] \right|=\sqrt{507{{t}^{2}}+2028t+2484}=\sqrt{507{{\left( t+2 \right)}^{2}}+456}\ge 2\sqrt{114}$
Dấu bằng xảy ra khi $t=-2\Rightarrow I\left( 2;2;3 \right)$
Gọi $J\left( 3;\dfrac{9}{2};-\dfrac{13}{2} \right)$ là trung điểm của AB.
Khi đó trọng tâm của tứ diện là trung điểm của $IJ\Rightarrow E\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{13}{2};-\dfrac{7}{4} \right)\Rightarrow a+b+c=4.$
Đáp án C.