Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 1;3;2 \right),$ $B(-2;-1;4)$ và hai điểm $M,N$ thay đổi trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}$ là
A. $28$.
B. $25$.
C. $36$.
D. $20$.
Gọi ${A}'\left( 1;3;0 \right),{B}'\left( -2;-1;0 \right)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $\left( Oxy \right)$
Ta có: $A{A}'=2,B{B}'=4$, $I\left( 4;7;0 \right)$
Vì $A$ là trung điểm của $IB$ nên ${A}'$ là trung điểm của $I{B}'$ và ${A}'{B}'=5$
Theo đề: $A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}+B{{{B}'}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}={A}'{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+20\ge \dfrac{{{\left( {A}'M+{B}'M \right)}^{2}}}{2}+20$
Suy ra $A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( 5-1 \right)}^{2}}}{2}+20=28$.
A. $28$.
B. $25$.
C. $36$.
D. $20$.
Gọi ${A}'\left( 1;3;0 \right),{B}'\left( -2;-1;0 \right)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $\left( Oxy \right)$
Ta có: $A{A}'=2,B{B}'=4$, $I\left( 4;7;0 \right)$
Vì $A$ là trung điểm của $IB$ nên ${A}'$ là trung điểm của $I{B}'$ và ${A}'{B}'=5$
Theo đề: $A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}+B{{{B}'}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}={A}'{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+20\ge \dfrac{{{\left( {A}'M+{B}'M \right)}^{2}}}{2}+20$
Suy ra $A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( 5-1 \right)}^{2}}}{2}+20=28$.
Đáp án A.