. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng ( $\left(...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (

(P_{1}) : 2 x + y + 2 z - 5 = 0, (P_{2}) : 2 x + y + 2 z + 13 = 0,

(Q) : 2 x - 2 y - z - 5 = 0,

và điểm

A (- 2; 0; 0)

nằm giữa hai mặt phẳng

(P_{1}), (P_{2}) .

Mặt cầu (S) có tâm

I (a; b; c)

luôn đi qua A và tiếp xúc với hai mặt phẳng

(P_{1}), (P_{2}) .

Khi khối cầu

(S)

cắt mặt phẳng (Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích lớn nhất thì

a + b - 2 c

bằng
A. 3.
B. 0.
C. −3.
D. 2.

Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng

(P_{1}), (P_{2})

có phương trình dạng

(P) : 2 x + y + 2 z + D = 0

Lại có

d (P_{1}; P) = d (P_{2}; P) \Leftrightarrow \frac{| D + 5 |}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{| D - 13 |}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \Leftrightarrow | P + 5 | = | P - 13 | \Leftrightarrow [\begin{aligned} D + 5 = D - 13 \\ D + 5 = 13 - D \end{aligned} \Leftrightarrow D = 4

Vậy

(P) : 2 x + y + 2 z + 4 = 0.

Tâm

I \in (P)

và điểm

A \in (P)

Điểm I nằm trên giao tuyến của mặt cầu

(A; R)

với

R = d (P_{1}; (P)) = 3

và mặt phẳng

(P)

Mặt phẳng

(P) ⊥ (Q)

, để

(S)

cắt mặt phẳng

(Q)

theo thiết diện là hình tròn có diện tích lớn nhất thì

d {(I; (Q))}_{min}

Để

d {(I; (Q))}_{min}

thì

I = A H \cap (A; R),

phương trình

A H : {\begin{aligned} x = - 2 + 2 t \\ y = - 2 t \\ z = - t \end{aligned}

Gọi

I (- 2 + 2 t; - 2 t; - t) \Rightarrow I A^{2} = 9 t^{2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1 \Rightarrow [\begin{aligned} I (0; - 2; - 1) \\ I (- 4; 2; 1) \end{aligned}

Kiểm tra khoảng cách từ I đến

(Q)

suy ra

I (0; - 2; - 1)

là điểm cần tìm.

Đáp án B.