Google
Câu hỏi: . Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng ( $\left( {{P}_{1}} \right):\ 2x+y+2z-5=0,\ \left( {{P}_{2}} \right):\ 2x+y+2z+13=0,$ $\left( Q \right):\ 2x-2y-z-5=0,$ và điểm $A\left( -2;0;0 \right)$ nằm giữa hai mặt phẳng $\left( {{P}_{1}} \right),\ \left( {{P}_{2}} \right).$ Mặt cầu (S) có tâm $I\left( a;b;c \right)$ luôn đi qua A và tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( {{P}_{1}} \right),\ \left( {{P}_{2}} \right).$ Khi khối cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng (Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích lớn nhất thì $a+b-2c$ bằng
A. 3.
B. 0.
C. −3.
D. 2.
A. 3.
B. 0.
C. −3.
D. 2.
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng $\left( {{P}_{1}} \right),\left( {{P}_{2}} \right)$ có phương trình dạng $\left( P \right):2x+y+2z+D=0$
Lại có $d\left( {{P}_{1}};P \right)=d\left( {{P}_{2}};P \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| D+5 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{\left| D-13 \right|}{\sqrt{4+1+4}}\Leftrightarrow \left| P+5 \right|=\left| P-13 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \text{D}+5=D-13 \\
& D+5=13-D \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow D=4$
Vậy $\left( P \right):2x+y+2z+4=0.$ Tâm $I\in \left( P \right)$ và điểm $A\in \left( P \right)$
Điểm I nằm trên giao tuyến của mặt cầu $\left( A;R \right)$ với $R=d\left( {{P}_{1}};\left( P \right) \right)=3$ và mặt phẳng $\left( P \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)\bot \left( Q \right)$, để $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Q \right)$ theo thiết diện là hình tròn có diện tích lớn nhất thì $d{{\left( I;\left( Q \right) \right)}_{\min }}$
Để $d{{\left( I;\left( Q \right) \right)}_{\min }}$ thì $I=AH\cap \left( A;R \right),$ phương trình $AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=-2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $I\left( -2+2t;-2t;-t \right)\Rightarrow I{{A}^{2}}=9{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& I\left( 0;-2;-1 \right) \\
& I\left( -4;2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Kiểm tra khoảng cách từ I đến $\left( Q \right)$ suy ra $I\left( 0;-2;-1 \right)$ là điểm cần tìm.
Lại có $d\left( {{P}_{1}};P \right)=d\left( {{P}_{2}};P \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| D+5 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{\left| D-13 \right|}{\sqrt{4+1+4}}\Leftrightarrow \left| P+5 \right|=\left| P-13 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \text{D}+5=D-13 \\
& D+5=13-D \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow D=4$
Vậy $\left( P \right):2x+y+2z+4=0.$ Tâm $I\in \left( P \right)$ và điểm $A\in \left( P \right)$
Điểm I nằm trên giao tuyến của mặt cầu $\left( A;R \right)$ với $R=d\left( {{P}_{1}};\left( P \right) \right)=3$ và mặt phẳng $\left( P \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)\bot \left( Q \right)$, để $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Q \right)$ theo thiết diện là hình tròn có diện tích lớn nhất thì $d{{\left( I;\left( Q \right) \right)}_{\min }}$
Để $d{{\left( I;\left( Q \right) \right)}_{\min }}$ thì $I=AH\cap \left( A;R \right),$ phương trình $AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=-2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $I\left( -2+2t;-2t;-t \right)\Rightarrow I{{A}^{2}}=9{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& I\left( 0;-2;-1 \right) \\
& I\left( -4;2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Kiểm tra khoảng cách từ I đến $\left( Q \right)$ suy ra $I\left( 0;-2;-1 \right)$ là điểm cần tìm.
Đáp án B.