Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A\left( 5;6;-5 \right)$ và M là...

Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 2;4;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{62}$.
Giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ là một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm J và bán kính r. Khi đó M là một điểm di động trên đường tròn $\left( C \right)$.

Tâm J là hình chiếu vuông góc của I trên $\left( P \right)$ $\Rightarrow IJ:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow J\left( 2+t;4+2t;-t \right)$
Cho $J\in \left( P \right)\Rightarrow t+2+4t+8+t-4=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow J\left( 1;2;1 \right)$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng $\left( P \right)$
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=5+u \\
& y=6+2u \\
& z=-5-u \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 5+u;6+2u;-5-u \right)$
Giải $H\in \left( P \right)\Rightarrow u+5+4u+12+u+5-4=0\Rightarrow u=-3\Rightarrow H\left( 2;0;-2 \right)$.
Ta có: $A{{M}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}=54+H{{M}^{2}}$
Mặt khác $H{{M}_{\min }}=H{{M}_{1}}=\left| HJ-r \right|$ trong đó $HJ=\sqrt{14},r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=2\sqrt{14}$
Suy ra $AM=\sqrt{54+H{{M}^{2}}}$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{54+{{\left( \sqrt{14}-2\sqrt{14} \right)}^{2}}}=2\sqrt{17}$.