Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A(5;6;-5)$ và M là...

Mặt cầu $\left(S\right):{(x-2)}^2+{(y-4)}^2+z^2=9$ có tâm $I(2;4;0)$ và bán kính $R=\sqrt{62}$.
Giao tuyến của $\left(S\right)$ và $\left(P\right)$ là một đường tròn $\left(C\right)$ có tâm J và bán kính r. Khi đó M là một điểm di động trên đường tròn $\left(C\right)$.

Tâm J là hình chiếu vuông góc của I trên $\left(P\right)$ $\Rightarrow IJ:\{\begin{array}{rl}& x=2+t\\ & y=4+2t\\ & z=-t\end{array}\Rightarrow J(2+t;4+2t;-t)$
Cho $J\in \left(P\right)\Rightarrow t+2+4t+8+t-4=0\iff t=-1\Rightarrow J(1;2;1)$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng $\left(P\right)$
$\Rightarrow AH:\{\begin{array}{rl}& x=5+u\\ & y=6+2u\\ & z=-5-u\end{array}\Rightarrow H(5+u;6+2u;-5-u)$
Giải $H\in \left(P\right)\Rightarrow u+5+4u+12+u+5-4=0\Rightarrow u=-3\Rightarrow H(2;0;-2)$.
Ta có: $A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2=54+H{M}^2$
Mặt khác $H{M}_{min}=H{M}_1=|HJ-r|$ trong đó $HJ=\sqrt{14},r=\sqrt{R^2-d^2(I;\left(P\right))}=2\sqrt{14}$
Suy ra $AM=\sqrt{54+H{M}^2}$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{54+{(\sqrt{14}-2\sqrt{14})}^2}=2\sqrt{17}$.