Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A$, $B$ thay đổi trên mặt cầu
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ thỏa mãn $AB=6$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}$ là
A. $24$.
B. $12$.
C. $6$.
D. $10$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ có tâm $I\left( 0;0;1 \right)$, bán kính $R=5$.
Ta có: $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=2\overrightarrow{OI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)$,
$=2\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BA}=2.OI.BA.\cos \left( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{BA} \right)$ $\le 2OI.BA=12$.
Dấu "=" xảy ra khi hai véc tơ $\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{BA}$ cùng hướng.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}$ là $12$.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ thỏa mãn $AB=6$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}$ là
A. $24$.
B. $12$.
C. $6$.
D. $10$.
Ta có: $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=2\overrightarrow{OI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)$,
$=2\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BA}=2.OI.BA.\cos \left( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{BA} \right)$ $\le 2OI.BA=12$.
Dấu "=" xảy ra khi hai véc tơ $\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{BA}$ cùng hướng.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}$ là $12$.
Đáp án B.