Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Ox}yz$ cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z}{1};$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho độ dài đoạn $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
D. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
A. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
D. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
Do $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( -1+t;-2+2t;t \right)$ ; do $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+2u;1+u;1+u \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 3+2u-t;3+u-2t;1+u-t \right)$
+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-2 \right)$. Do $d//\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0\Rightarrow u=t-4$
$\Rightarrow AB=\sqrt{2{{t}^{2}}-8t+35}\ge 3\sqrt{3}$. Suy ra độ dài đoạn $AB$ nhỏ nhất bằng $3\sqrt{3}$ khi $t=2$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;-3 \right)\Rightarrow d$ đi qua điểm $A\left( 1;2;2 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;1 \right)$
Suy ra phương trình $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 3+2u-t;3+u-2t;1+u-t \right)$
+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-2 \right)$. Do $d//\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0\Rightarrow u=t-4$
$\Rightarrow AB=\sqrt{2{{t}^{2}}-8t+35}\ge 3\sqrt{3}$. Suy ra độ dài đoạn $AB$ nhỏ nhất bằng $3\sqrt{3}$ khi $t=2$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;-3 \right)\Rightarrow d$ đi qua điểm $A\left( 1;2;2 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;1 \right)$
Suy ra phương trình $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
Đáp án B.