Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Ox}yz$, cho điểm $M(1;2;-1)$, (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. $27\sqrt{6}\pi $
B. $216\sqrt{6}\pi $
C. $972\pi $
D. $\dfrac{243\pi }{2}$
A. $27\sqrt{6}\pi $
B. $216\sqrt{6}\pi $
C. $972\pi $
D. $\dfrac{243\pi }{2}$
Để $d\left[ O;\left( P \right) \right]$ lớn nhất $\Leftrightarrow d\left[ O;\left( P \right) \right]=OM\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( p \right)}}=\overline{OM}=\left( 1;2;-1 \right)$
Phương trình mặt phẳng (P) là $1\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)+\left( -1 \right)\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z-6=0$
Mặt phẳng cắt trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A\left( 6;0;0 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 0;0;-6 \right)$
Do đó: $OA=OC=6;OB=3\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{9}{2}$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{243\pi }{2}$.
Phương trình mặt phẳng (P) là $1\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)+\left( -1 \right)\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z-6=0$
Mặt phẳng cắt trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A\left( 6;0;0 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 0;0;-6 \right)$
Do đó: $OA=OC=6;OB=3\Rightarrow R=\dfrac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{9}{2}$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{243\pi }{2}$.
Đáp án D.