Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{O}xyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}: \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ ; ${{d}_{2}}: \dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right): x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$, cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $A,B$. Độ dài đoạn $AB$ là
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{14}$.
C. $5$.
D. $\sqrt{15}$.
${{d}_{1}}$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=3-2t \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}} $ có phương trình tham số là $ \left\{ \begin{aligned}
& x=5-3k \\
& y=-1+2k \\
& z=2+k \\
\end{aligned} \right. $. Mặt phẳng $ \left( P \right) $ có một véctơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{n}=\left( 1;2;3 \right)$.
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 3-t;3-2t;-2+t \right)$ và $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 5-3k;-1+2k;2+k \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2-3k+t;-4+2k+2t;4+k-t \right)$.
Mà $d\bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng phương, suy ra $\dfrac{2-3k+t}{1}=\dfrac{-4+2k+2t}{2}=\dfrac{4+k-t}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& k=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $A\left( 1;-1;0 \right),B\left( 2;1;3 \right)$. Vậy $AB=\sqrt{14}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{14}$.
C. $5$.
D. $\sqrt{15}$.
${{d}_{1}}$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=3-2t \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}} $ có phương trình tham số là $ \left\{ \begin{aligned}
& x=5-3k \\
& y=-1+2k \\
& z=2+k \\
\end{aligned} \right. $. Mặt phẳng $ \left( P \right) $ có một véctơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{n}=\left( 1;2;3 \right)$.
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 3-t;3-2t;-2+t \right)$ và $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 5-3k;-1+2k;2+k \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2-3k+t;-4+2k+2t;4+k-t \right)$.
Mà $d\bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng phương, suy ra $\dfrac{2-3k+t}{1}=\dfrac{-4+2k+2t}{2}=\dfrac{4+k-t}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& k=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $A\left( 1;-1;0 \right),B\left( 2;1;3 \right)$. Vậy $AB=\sqrt{14}$.
Đáp án B.