Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{O}xyz$, cho hai điểm $A\left( 3;1;-3 \right)$, $B\left( 0;-2;3 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1.$ Xét điểm $M$ thay đổi thuộc mặt cầu $\left( S \right)$, giá trị lớn nhất của $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ bằng
A. $84$.
B. $52$.
C. $102$.
D. $78$.
A. $84$.
B. $52$.
C. $102$.
D. $78$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;0;3 \right)$ và bán kính $R=1$.
Gọi $J\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $\overrightarrow{JA}=\left( 3-a;1-b;-3-c \right); \overrightarrow{JB}=\left( -a;-2-b;3-c \right)$
$\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-a+2\left( -a \right)=0 \\
& 1-b+2\left( -2-b \right)=0 \\
& -3-c+2\left( 3-c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow J\left( 1;-1;1 \right)$.
Ta có: $P=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB} \right)}^{2}}=3M{{J}^{2}}+J{{A}^{2}}+2J{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MJ}\underbrace{\left( \overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB} \right)}_{\overrightarrow{0}}$
$=3M{{J}^{2}}+\underbrace{J{{A}^{2}}+2J{{B}^{2}}}_{const}$
Để $P$ đạt giá trị lớn nhất thì $M{{J}_{max}}$. Ta có :
$\overrightarrow{IJ}=\left( 2;-1;-2 \right)$ $\Rightarrow IJ=3>R$ nên $J$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ và $M{{J}_{max}}=IJ+R=3+1=4$
$\overrightarrow{JA}=\left( 2;2;-4 \right)$ $\Rightarrow JA=\sqrt{24}$
$\overrightarrow{JB}=\left( -1;-1;2 \right)$ $\Rightarrow JB=\sqrt{6}$
Vậy ${{P}_{max}}={{3.4}^{2}}+24+2.6=84$.
Gọi $J\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $\overrightarrow{JA}=\left( 3-a;1-b;-3-c \right); \overrightarrow{JB}=\left( -a;-2-b;3-c \right)$
$\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-a+2\left( -a \right)=0 \\
& 1-b+2\left( -2-b \right)=0 \\
& -3-c+2\left( 3-c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow J\left( 1;-1;1 \right)$.
Ta có: $P=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB} \right)}^{2}}=3M{{J}^{2}}+J{{A}^{2}}+2J{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MJ}\underbrace{\left( \overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB} \right)}_{\overrightarrow{0}}$
$=3M{{J}^{2}}+\underbrace{J{{A}^{2}}+2J{{B}^{2}}}_{const}$
Để $P$ đạt giá trị lớn nhất thì $M{{J}_{max}}$. Ta có :
$\overrightarrow{IJ}=\left( 2;-1;-2 \right)$ $\Rightarrow IJ=3>R$ nên $J$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ và $M{{J}_{max}}=IJ+R=3+1=4$
$\overrightarrow{JA}=\left( 2;2;-4 \right)$ $\Rightarrow JA=\sqrt{24}$
$\overrightarrow{JB}=\left( -1;-1;2 \right)$ $\Rightarrow JB=\sqrt{6}$
Vậy ${{P}_{max}}={{3.4}^{2}}+24+2.6=84$.
Đáp án A.