Google
Câu hỏi: Trong không gian $Ozyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ và ba điểm $A\left( 0;1;0 \right),B\left( 0;0;1 \right),C\left( 3;-2;-1 \right)$. Tập hợp các điểm $M$ trên mặt cầu thỏa mãn $M{{A}^{2}}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0$ là đường tròn cố định có bán kính bằng
A. $\dfrac{9}{5}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{34}}{5}$.
C. $\dfrac{6\sqrt{6}}{5}$.
D. $\dfrac{12}{5}$
A. $\dfrac{9}{5}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{34}}{5}$.
C. $\dfrac{6\sqrt{6}}{5}$.
D. $\dfrac{12}{5}$
+) $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( -1;2;3 \right),R=3$.
+)Gọi $M\left( x;y;z \right)$ $\Rightarrow M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}},\overrightarrow{MB}=\left( -x;-y;1-z \right),\overrightarrow{MC}=\left( 3-x;-2-y;-1-z \right)$
+)Ta có $M{{A}^{2}}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+x\left( 3-x \right)+y\left( -2-y \right)-\left( 1-z \right)\left( -1-z \right)=0$
$\Leftrightarrow 3x-4y+2=0$ $\left( P \right)$
Nên quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$.
+) $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -3-8+2 \right|}{5}=\dfrac{9}{5}$
Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{9-\dfrac{81}{25}}=\dfrac{12}{5}$.
+)Gọi $M\left( x;y;z \right)$ $\Rightarrow M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( -y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}},\overrightarrow{MB}=\left( -x;-y;1-z \right),\overrightarrow{MC}=\left( 3-x;-2-y;-1-z \right)$
+)Ta có $M{{A}^{2}}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+x\left( 3-x \right)+y\left( -2-y \right)-\left( 1-z \right)\left( -1-z \right)=0$
$\Leftrightarrow 3x-4y+2=0$ $\left( P \right)$
Nên quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$.
+) $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -3-8+2 \right|}{5}=\dfrac{9}{5}$
Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{9-\dfrac{81}{25}}=\dfrac{12}{5}$.
Đáp án D.
