: Trong không gian $Ozyz,$ cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=2-t \\ & z=t \\ \end{aligned} \right. $, $...

Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ các điểm $A,B.$
- $AB$ ngắn nhất khi $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d,d'.$
- Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u'}=0 \\
\end{aligned} \right. $ tìm tọa độ các điểm $ A,B, $ với $ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} $ lần lượt là VTCP của $ d,d'.$
- Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}} \right)$ nhận $\overrightarrow{AB}\left( a;b;c \right)$ là 1 VTCP: $\dfrac{x-{{x}_{A}}}{a}=\dfrac{y-{{y}_{A}}}{b}=\dfrac{z-{{z}_{A}}}{c}.$
Cách giải:
Gọi $\Delta \cap d=A\left( t+1;2-t;t \right);\Delta \cap d'=\left( 2t';1+t';2+t' \right).$
$AB$ ngắn nhất khi $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d,d'.$
Gọi $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)$ và $\overrightarrow{u'}=\left( 2;1;1 \right)$ lần lượt là VTCP của $d,d'.$
Vì $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d,d'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u'}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\overrightarrow{AB}\left( 2t'-t-1;t'+t-1;t'-t+2 \right).$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2t'-t-1-t'-t+1+t'-t+2=0 \\
& 4t'-2t-2+t'+t-1+t'-t+2=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2t'-3t=-2 \\
& 6t'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=\dfrac{1}{2} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 2;1;1 \right) \\
& B\left( 1;\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$
Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 2;1;1 \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -2;1;3 \right)$ là $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}.$