Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3 ; 5 ; 12)$...

Cách 1.
TH1: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại (loại)
TH2: Mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính là .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ta có .
Ta có .
Mặt khác,
Từ đó suy ra:
Góc giữa hai đường thẳng

.
Cách 2. Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng nên .
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng ta có và và .
Xét 2 tiếp tuyến đi qua và tiếp xúc với tại như hình vẽ.
Từ đề bài ta có , với .
Mà nên:


, do .
Vậy, có giá trị nguyên thỏa yêu cầu