Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ xét đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A\left( 0;0;1 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm $B\left( 0;4;0 \right)$ tới điểm $C$ trong đó $C$ là điểm cách đều đường thẳng $\Delta $ và trục $Ox.$
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $3\sqrt{2}.$
C. $\sqrt{6}.$
D. 2.
A. $\dfrac{1}{2}.$
B. $3\sqrt{2}.$
C. $\sqrt{6}.$
D. 2.
Đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ C\left( a;b;c \right)\to \left\{ \begin{aligned}
& d\left( C;Ox \right)=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& d\left( C;\Delta \right)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right..$
Vì $d\left( C;Ox \right)=d\left( C;\Delta \right)\to {{a}^{2}}={{b}^{2}}+2c-1.$
Khi đó $BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}+2c-1+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}$
$=\sqrt{2{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}+6}\ge \sqrt{6}$ vì ${{\left( b-2 \right)}^{2}}\ge ;{{\left( c+1 \right)}^{2}}\ge 0$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=-1 \\
\end{aligned} \right.\to a=1\to C\left( 1;2;-1 \right).$
& x=0 \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ C\left( a;b;c \right)\to \left\{ \begin{aligned}
& d\left( C;Ox \right)=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& d\left( C;\Delta \right)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right..$
Vì $d\left( C;Ox \right)=d\left( C;\Delta \right)\to {{a}^{2}}={{b}^{2}}+2c-1.$
Khi đó $BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}+2c-1+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}$
$=\sqrt{2{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}+6}\ge \sqrt{6}$ vì ${{\left( b-2 \right)}^{2}}\ge ;{{\left( c+1 \right)}^{2}}\ge 0$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=-1 \\
\end{aligned} \right.\to a=1\to C\left( 1;2;-1 \right).$
Đáp án C.