Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ với hệ trục tọa độ cho điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;2 \right)$. Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right).:x+y+z=0$ và tiếp xúc với 3 đường thẳng $AB,BC,CA$ ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Gọi mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh $AB,BC,CA$.
$d\left( I,AB \right)=d\left( I,BC \right)=d\left( I,AC \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$M,P,C$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,BC,CA$.
Ta có: $\Delta IHM=\Delta IHN=\Delta IHP$ (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).
$\Rightarrow HM=HN=HP\Rightarrow H$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và cách đều 3 cạnh $AB,BC,CA$.
$\Rightarrow H$ có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$.
Mà $IH\bot \left( ABC \right)$ nên tập hợp điểm $I$ là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow $ có 4 đường thẳng như thế.
Ta có $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;2 \right)\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng
$\left( ABC \right):x+y+z-2=0\Rightarrow \left( ABC \right)//\left( \alpha \right)$.
Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm $I$ nêu trên và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow $ có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Gọi mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh $AB,BC,CA$.
$d\left( I,AB \right)=d\left( I,BC \right)=d\left( I,AC \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$M,P,C$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,BC,CA$.
Ta có: $\Delta IHM=\Delta IHN=\Delta IHP$ (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).
$\Rightarrow HM=HN=HP\Rightarrow H$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và cách đều 3 cạnh $AB,BC,CA$.
$\Rightarrow H$ có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$.
Mà $IH\bot \left( ABC \right)$ nên tập hợp điểm $I$ là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow $ có 4 đường thẳng như thế.
Ta có $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;2 \right)\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng
$\left( ABC \right):x+y+z-2=0\Rightarrow \left( ABC \right)//\left( \alpha \right)$.
Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm $I$ nêu trên và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow $ có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.