Trong không gian $Oxyz$ với hệ trục tọa độ cho điểm $A\left( 2;0;0...

Gọi mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I$ là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh $AB,BC,CA$.
$d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,AC)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$.
$M,P,C$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,BC,CA$.
Ta có: $\mathrm{\Delta }IHM=\mathrm{\Delta }IHN=\mathrm{\Delta }IHP$ (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).
$\Rightarrow HM=HN=HP\Rightarrow H$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và cách đều 3 cạnh $AB,BC,CA$.
$\Rightarrow H$ có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\mathrm{\Delta }ABC$.
Mà $IH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên tập hợp điểm $I$ là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\mathrm{\Delta }ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow$ có 4 đường thẳng như thế.
Ta có $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng
$\left(ABC\right):x+y+z-2=0\Rightarrow \left(ABC\right)//\left(\alpha \right)$.
Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm $I$ nêu trên và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.
4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow$ có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.