Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua bốn điểm O, $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right)$ và $C\left( 0;0;4 \right)$ là
A. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+x-2y+4\text{z}=0$
B. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-8\text{z}=0$
C. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-x+2y-4\text{z}=0$
D. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y+8\text{z}=0$
A. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+x-2y+4\text{z}=0$
B. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-8\text{z}=0$
C. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-x+2y-4\text{z}=0$
D. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y+8\text{z}=0$
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cx+d=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$.
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua O, $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right)$ và $C\left( 0;0;4 \right)$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& {{1}^{2}}+0+0-2.1.a+d=0 \\
& 0+{{\left( -2 \right)}^{2}}+0-2\left( -2 \right).b+d=0 \\
& 0+0+{{4}^{2}}-2.4.c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=-1 \\
& c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-x+2y-4\text{z}=0$.
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cx+d=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$.
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua O, $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right)$ và $C\left( 0;0;4 \right)$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& {{1}^{2}}+0+0-2.1.a+d=0 \\
& 0+{{\left( -2 \right)}^{2}}+0-2\left( -2 \right).b+d=0 \\
& 0+0+{{4}^{2}}-2.4.c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=-1 \\
& c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-x+2y-4\text{z}=0$.
Đáp án C.