Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;2;1 \right)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài các đoạn thẳng $OA,OB,OC$ theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ tới mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
A. $\dfrac{4}{\sqrt{21}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{21}.$
C. $\dfrac{3\sqrt{21}}{7}.$
D. $9\sqrt{21}.$
A. $\dfrac{4}{\sqrt{21}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{21}.$
C. $\dfrac{3\sqrt{21}}{7}.$
D. $9\sqrt{21}.$
Giả sử $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ $\left( a,b,c>0 \right),\left( \alpha \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
$\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;2;1 \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1.$
$OA,OB,OC$ theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội bằng 2
$\Rightarrow b=2a,c=2b\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{4a}=1\Rightarrow a=\dfrac{9}{4},b=\dfrac{9}{2},c=9\Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{4x}{9}+\dfrac{2y}{9}+\dfrac{z}{9}=1$ hay
$\left( \alpha \right):4x+2y+z-9=0\Rightarrow f\left( O,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{9}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}.$
$\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;2;1 \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1.$
$OA,OB,OC$ theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội bằng 2
$\Rightarrow b=2a,c=2b\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{4a}=1\Rightarrow a=\dfrac{9}{4},b=\dfrac{9}{2},c=9\Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{4x}{9}+\dfrac{2y}{9}+\dfrac{z}{9}=1$ hay
$\left( \alpha \right):4x+2y+z-9=0\Rightarrow f\left( O,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{9}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án C.