Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$ cắt đường thẳng $d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ tại hai điểm phân biệt A; B với chu vi tam giác IAB bằng $12+2\sqrt{10}$ có phương trình
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=36$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=144$.
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=100$.
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=10$.
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=36$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=144$.
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=100$.
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=10$.
Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d.
Ta có $IH=d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MI},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\sqrt{26}$ với $M\left( 0;0;2 \right)\in d;\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$.
Trong tam giác vuông IAH ta có: $AH=\sqrt{{{R}^{2}}-26}$.
Theo giả thiết ta có: $IA+IB+AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-26}+2R=12+2\sqrt{10}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-26}=\left( 6+\sqrt{10} \right)-R\Rightarrow 2R\left( 6+\sqrt{10} \right)=72+12\sqrt{10}\Leftrightarrow R=6$.
Vậy phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=36$.
Ta có $IH=d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MI},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\sqrt{26}$ với $M\left( 0;0;2 \right)\in d;\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$.
Trong tam giác vuông IAH ta có: $AH=\sqrt{{{R}^{2}}-26}$.
Theo giả thiết ta có: $IA+IB+AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-26}+2R=12+2\sqrt{10}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-26}=\left( 6+\sqrt{10} \right)-R\Rightarrow 2R\left( 6+\sqrt{10} \right)=72+12\sqrt{10}\Leftrightarrow R=6$.
Vậy phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=36$.
Đáp án A.