Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I (1; 2; - 3)$ cắt...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm

I (1; 2; - 3)

cắt đường thẳng

d : \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}

tại hai điểm phân biệt A; B với chu vi tam giác IAB bằng

12 + 2 \sqrt{10}

có phương trình
A.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 36

.
B.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 144

.
C.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 100

.
D.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 10

.

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d.
Ta có

I H = d (I; d) = \frac{| [\vec{M I}, \vec{u_{d}}] |}{| \vec{u_{d}} |} = \sqrt{26}

với

M (0; 0; 2) \in d; \vec{u_{d}} = (2; 1; 2)

.
Trong tam giác vuông IAH ta có:

A H = \sqrt{R^{2} - 26}

.
Theo giả thiết ta có:

I A + I B + A B = 2 \sqrt{R^{2} - 26} + 2 R = 12 + 2 \sqrt{10}

\Leftrightarrow \sqrt{R^{2} - 26} = (6 + \sqrt{10}) - R \Rightarrow 2 R (6 + \sqrt{10}) = 72 + 12 \sqrt{10} \Leftrightarrow R = 6

.
Vậy phương trình mặt cầu là:

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 36

.

Đáp án A.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;−3) cắt...