Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho $OC=1$. Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho $OA+OB=OC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC?
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
B. $\sqrt{6}.$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Giả sử $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=\left| a \right| \\
& OB=\left| b \right| \\
\end{aligned} \right..$
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot OA \\
& OC\bot OB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left( OAB \right)$.
Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
$\Delta OAB$ vuông tại $O\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$
$I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.
Ta có: $OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
$\begin{aligned}
& R=OI=\sqrt{I{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+\left( 1-{{a}^{2}} \right)+1}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}-2a+2}}{2} \\
& \ \ \ =\dfrac{\sqrt{2\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2\left( {{a}^{2}}-2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} \right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}}}{2}\ge \dfrac{\sqrt{6}}{4}. \\
\end{aligned}$
Vậy $a=3,b=4,c=2\sqrt{5}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{390}}{4}$
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
B. $\sqrt{6}.$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Giả sử $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=\left| a \right| \\
& OB=\left| b \right| \\
\end{aligned} \right..$
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot OA \\
& OC\bot OB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left( OAB \right)$.
Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
$\Delta OAB$ vuông tại $O\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$
$I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.
Ta có: $OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
$\begin{aligned}
& R=OI=\sqrt{I{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+\left( 1-{{a}^{2}} \right)+1}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}-2a+2}}{2} \\
& \ \ \ =\dfrac{\sqrt{2\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2\left( {{a}^{2}}-2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} \right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}}}{2}\ge \dfrac{\sqrt{6}}{4}. \\
\end{aligned}$
Vậy $a=3,b=4,c=2\sqrt{5}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{390}}{4}$
Đáp án A.