Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho $OC=1$. Trên...

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& OA=\left|a\right|\\ & OB=\left|b\right|\end{array}.$
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& OC\mathrm{\perp }OA\\ & OC\mathrm{\perp }OB\end{array}\Rightarrow OC\mathrm{\perp }\left(OAB\right)$.
Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
$\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }OAB\Rightarrow IO=IA=IB.$
$I\in IN\Rightarrow IO=IC\Rightarrow IO=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.
Ta có: $OM={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2+b^2}$.
$\begin{array}{rl}& R=OI=\sqrt{I{M}^2+O{M}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{c^2}{4}}+{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}}{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+(1-a^2)+1}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2a^2-2a+2}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2(a^2-a+1)}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2(a^2-2.a.{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}})}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2{(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{2}}\ge {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}.\end{array}$
Vậy $a=3,b=4,c=2\sqrt{5}\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{390}}{4}}$